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| Inhaltsverzeichnis | ||||||
| 1 | Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen | 1 | ||||
| 1.1 | Logische Symbole | 1 | ||||
| 1.1.1 | Bindewörter und Klammern | 1 | ||||
| 1.1.2 | Hinweise zu Beweisen | 3 | ||||
| 1.1.3 | Einige besondere Schreibweisen | 3 | ||||
| 1.1.4 | Abschließende Anmerkungen | 3 | ||||
| 1.1.5 | Übungen | 4 | ||||
| 1.2 | Mengen und elementare Mengenoperationen | 5 | ||||
| 1.2.1 | Der Begriff einer Menge | 5 | ||||
| 1.2.2 | Teilmengen | 7 | ||||
| 1.2.3 | Elementare Mengenoperationen | 9 | ||||
| 1.2.4 | Übungen | 11 | ||||
| 1.3 | Funktionen | 12 | ||||
| 1.3.1 | Der Begriff einer Funktion (Abbildung) | 12 | ||||
| 1.3.2 | Elementare Klassifizierung von Abbildungen | 17 | ||||
| 1.3.3 | Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen | 18 | ||||
| 1.3.4 | Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion | 20 | ||||
| 1.3.5 | Übungen | 24 | ||||
| 1.4 | Ergänzungen | 27 | ||||
| 1.4.1 | Die Mächtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) | 27 | ||||
| 1.4.2 | Axiome der Mengenlehre | 29 | ||||
| 1.4.3 | Sätze in der Sprache der Mengenlehre | 31 | ||||
| 1.4.4 | Übungen | 33 | ||||
| 2 | Die reellen Zahlen | 37 | ||||
| 2.1 | Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen | 38 | ||||
| 2.1.1 | Definition der Menge der reellen Zahlen | 38 | ||||
| 2.1.2 | Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen | 42 | ||||
| 2.1.3 | Das Vollständigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke | 46 | ||||
| 2.2 | Klassen reeller Zahlen und Berechnungen | 49 | ||||
| 2.2.1 | Die natürlichen Zahlen. Mathematische Induktion | 49 | ||||
| 2.2.2 | Rationale und irrationale Zahlen | 52 | ||||
| 2.2.3 | Das archimedische Prinzip | 55 | ||||
| 2.2.4 | Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen | 57 | ||||
| 2.2.5 | Übungen und Aufgaben | 70 | ||||
| 2.3 | Wichtige Sätze zur Vollständigkeit | 74 | ||||
| 2.3.1 | Der Satz zur Intervallschachtelung | 74 | ||||
| 2.3.2 | Der Satz zur endlichen Überdeckung | 75 | ||||
| 2.3.3 | Der Satz vom Häufungspunkt | 76 | ||||
| 2.3.4 | Übungen und Aufgaben | 77 | ||||
| 2.4 | Abzählbare und überabzählbare Mengen | 78 | ||||
| 2.4.1 | Abzählbare Mengen | 78 | ||||
| 2.4.2 | Die Mächtigkeit des Kontinuums | 80 | ||||
| 2.4.3 | Übungen und Aufgaben | 81 | ||||
| 3 | Grenzwerte | 83 | ||||
| 3.1 | Der Grenzwert einer Folge | 84 | ||||
| 3.1.1 | Definitionen und Beispiele | 84 | ||||
| 3.1.2 | Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge | 86 | ||||
| 3.1.3 | Existenz des Grenzwertes einer Folge | 90 | ||||
| 3.1.4 | Elementares zu Reihen | 99 | ||||
| 3.1.5 | Übungen und Aufgaben | 109 | ||||
| 3.2 | Der Grenzwert einer Funktion | 112 | ||||
| 3.2.1 | Definitionen und Beispiele | 112 | ||||
| 3.2.2 | Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion | 116 | ||||
| 3.2.3 | Grenzwert auf einer Basis | 132 | ||||
| 3.2.4 | Existenz des Grenzwertes einer Funktion | 137 | ||||
| 3.2.5 | Übungen und Aufgaben | 153 | ||||
| 4 | Stetige Funktionen | 157 | ||||
| 4.1 | Wichtige Definitionen und Beispiele | 157 | ||||
| 4.1.1 | Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt | 157 | ||||
| 4.1.2 | Unstetigkeitsstellen | 162 | ||||
| 4.2 | Eigenschaften stetiger Funktionen | 165 | ||||
| 4.2.1 | Lokale Eigenschaften | 165 | ||||
| 4.2.2 | Globale Eigenschaften stetiger Funktionen | 167 | ||||
| 4.2.3 | Übungen und Aufgaben | 176 | ||||
| 5 | Differentialrechnung | 181 | ||||
| 5.1 | Differenzierbare Funktionen | 181 | ||||
| 5.1.1 | Problemstellung und einleitende Betrachtungen | 181 | ||||
| 5.1.2 | In einem Punkt differenzierbare Funktionen | 186 | ||||
| 5.1.3 | Tangenten und geometrische Interpretation der Ableitung | 189 | ||||
| 5.1.4 | Die Rolle des Koordinatensystems | 192 | ||||
| 5.1.5 | Einige Beispiele | 194 | ||||
| 5.1.6 | Übungen und Aufgaben | 200 | ||||
| 5.2 | Wichtige Ableitungsregeln | 201 | ||||
| 5.2.1 | Differentiation und arithmetische Operationen | 201 | ||||
| 5.2.2 | Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) | 205 | ||||
| 5.2.3 | Differentiation einer inversen Funktion | 208 | ||||
| 5.2.4 | Ableitungstabelle der Elementarfunktionen | 213 | ||||
| 5.2.5 | Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion | 213 | ||||
| 5.2.6 | Ableitungen höherer Ordnung | 218 | ||||
| 5.2.7 | Übungen und Aufgaben | 222 | ||||
| 5.3 | Die zentralen Sätze der Differentialrechnung | 223 | ||||
| 5.3.1 | Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle | 223 | ||||
| 5.3.2 | Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy | 225 | ||||
| 5.3.3 | Die Taylorschen Formeln | 229 | ||||
| 5.3.4 | Übungen und Aufgaben | 242 | ||||
| 5.4 | Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen | 246 | ||||
| 5.4.1 | Bedingungen für die Monotonie einer Funktion | 246 | ||||
| 5.4.2 | Bedingungen für ein inneres Extremum einer Funktion | 247 | ||||
| 5.4.3 | Bedingungen für die Konvexität einer Funktion | 253 | ||||
| 5.4.4 | Die Regel von L'Hopital | 261 | ||||
| 5.4.5 | Das Konstruieren von Graphen von Funktionen | 263 | ||||
| 5.4.6 | Übungen und Aufgaben | 272 | ||||
| 5.5 | Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen | 276 | ||||
| 5.5.1 | Komplexe Zahlen | 276 | ||||
| 5.5.2 | Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern | 280 | ||||
| 5.5.3 | Eulersche Formel und Elementarfunktionen | 285 | ||||
| 5.5.4 | Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung | 288 | ||||
| 5.5.5 | Algebraische Abgeschlossenheit des Körpers C | 293 | ||||
| 5.5.6 | Übungen und Aufgaben | 300 | ||||
| 5.6 | Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften | 301 | ||||
| 5.6.1 | Bewegung eines Körpers mit veränderlicher Masse | 302 | ||||
| 5.6.2 | Die barometrische Höhenformel | 304 | ||||
| 5.6.3 | Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren | 306 | ||||
| 5.6.4 | In der Atmosphäre fallende Körper | 308 | ||||
| 5.6.5 | Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x | 310 | ||||
| 5.6.6 | Schwingungen | 313 | ||||
| 5.6.7 | Übungen und Aufgaben | 316 | ||||
| 5.7 | Stammfunktionen | 320 | ||||
| 5.7.1 | Stammfunktionen und das unbestimmte Integral | 321 | ||||
| 5.7.2 | Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion | 323 | ||||
| 5.7.3 | Stammfunktionen rationaler Funktionen | 329 | ||||
| 5.7.4 | Stammfunktionen der Form J R(cosx, sinx) dx | 333 | ||||
| 5.7.5 | Stammfunktionen der Form J R(x, y(x)) dx | 335 | ||||
| 5.7.6 | Übungen und Aufgaben | 338 | ||||
| 6 | Integralrechnung | 345 | ||||
| 6.1 | Definition des Integrals | 345 | ||||
| 6.1.1 | Problemstellung und einführende Betrachtungen | 345 | ||||
| 6.1.2 | Definition des Riemannschen Integrals | 347 | ||||
| 6.1.3 | Die Menge der integrierbaren Funktionen | 349 | ||||
| 6.1.4 | Übungen und Aufgaben | 363 | ||||
| 6.2 | Linearität, Additivität und Monotonie des Integrals | 365 | ||||
| 6.2.1 | Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] | 365 | ||||
| 6.2.2 | Das Integral als eine additive Intervallfunktion | 365 | ||||
| 6.2.3 | Abschätzung, Monotonie und Mittelwertsatz | 368 | ||||
| 6.2.4 | Übungen und Aufgaben | 376 | ||||
| 6.3 | Das Integral und die Ableitung | 377 | ||||
| 6.3.1 | Das Integral und die Stammfunktion | 377 | ||||
| 6.3.2 | Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung | 380 | ||||
| 6.3.3 | Partielle Integration und Taylorsche Formel | 381 | ||||
| 6.3.4 | Änderung der Variablen in einem Integral | 383 | ||||
| 6.3.5 | Einige Beispiele | 385 | ||||
| 6.3.6 | Übungen und Aufgaben | 390 | ||||
| 6.4 | Einige Anwendungen der Integralrechnung | 393 | ||||
| 6.4.1 | Additive Intervallfunktionen und das Integral | 393 | ||||
| 6.4.2 | Bogenlänge | 395 | ||||
| 6.4.3 | Die Fläche eines krummlinigen Trapezes | 402 | ||||
| 6.4.4 | Volumen eines Drehkörpers | 404 | ||||
| 6.4.5 | Arbeit und Energie | 404 | ||||
| 6.4.6 | Übungen und Aufgaben | 411 | ||||
| 6.5 | Uneigentliche Integrale | 413 | ||||
| 6.5.1 | Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften | 413 | ||||
| 6.5.2 | Konvergenz eines uneigentlichen Integrals | 418 | ||||
| 6.5.3 | Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularität . | 425 | ||||
| 6.5.4 | Übungen und Aufgaben | 428 | ||||
| 7 | Funktionen mehrerer Variabler | 431 | ||||
| 7.1 | Der Raum Rmund seine Unterräume | 432 | ||||
| 7.1.1 | Die Menge Rmund der Abstand in dieser Menge | 432 | ||||
| 7.1.2 | Offene und abgeschlossene Mengen in Rm | 433 | ||||
| 7.1.3 | Kompakte Mengen in Rm | 436 | ||||
| 7.1.4 | Übungen und Aufgaben | 438 | ||||
| 7.2 | Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler | 438 | ||||
| 7.2.1 | Der Grenzwert einer Funktion | 438 | ||||
| 7.2.2 | Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler | 444 | ||||
| 7.2.3 | Übungen und Aufgaben | 449 | ||||
| 8 | Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler | 451 | ||||
| 8.1 | Die lineare Struktur auf Rm | 451 | ||||
| 8.1.1 | Rmals Vektorraum | 451 | ||||
| 8.1.2 | Lineare Transformationen L : Rm-> Rn | 452 | ||||
| 8.1.3 | Die Norm in Rm | 453 | ||||
| 8.1.4 | Die euklidische Struktur auf Rm | 455 | ||||
| 8.2 | Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler | 456 | ||||
| 8.2.1 | Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt. | 456 | ||||
| 8.2.2 | Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten | 457 | ||||
| 8.2.3 | Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung | 460 | ||||
| 8.2.4 | Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem Punkt | 461 | ||||
| 8.3 | Die wichtigsten Gesetze der Differentiation | 462 | ||||
| 8.3.1 | Linearität der Ableitung | 462 | ||||
| 8.3.2 | Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) | 465 | ||||
| 8.3.3 | Ableitung einer inversen Abbildung | 470 | ||||
| 8.3.4 | Übungen und Aufgaben | 472 | ||||
| 8.4 | Reelle Funktionen mehrerer Variabler | 478 | ||||
| 8.4.1 | Der Mittelwertsatz | 478 | ||||
| 8.4.2 | Eine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit | 480 | ||||
| 8.4.3 | Partielle Ableitungen höherer Ordnung | 481 | ||||
| 8.4.4 | Die Taylorsche Formel | 484 | ||||
| 8.4.5 | Extrema von Funktionen mehrerer Variabler | 486 | ||||
| 8.4.6 | Einige geometrische Darstellungen | 493 | ||||
| 8.4.7 | Übungen und Aufgaben | 497 | ||||
| 8.5 | Der Satz zur impliziten Funktion | 504 | ||||
| 8.5.1 | Einleitung | 504 | ||||
| 8.5.2 | Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion | 506 | ||||
| 8.5.3 | Übergang zur Gleichung F(x1,. .., xm, y) = 0 | 510 | ||||
| 8.5.4 | Der Satz zur impliziten Funktion | 513 | ||||
| 8.5.5 | Übungen und Aufgaben | 518 | ||||
| 8.6 | Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion | 522 | ||||
| 8.6.1 | Der Satz zur inversen Funktion | 522 | ||||
| 8.6.2 | Lokale Reduktion in kanonische Form | 527 | ||||
| 8.6.3 | Funktionale Abhängigkeit | 532 | ||||
| 8.6.4 | Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus | 534 | ||||
| 8.6.5 | Das Morse-Lemma | 537 | ||||
| 8.6.6 | Übungen und Aufgaben | 540 | ||||
| 8.7 | Flächen in Rnund bedingte Extrema | 542 | ||||
| 8.7.1 | k-dimensionale Flächen in Rn | 542 | ||||
| 8.7.2 | Der Tangentialraum | 547 | ||||
| 8.7.3 | Extrema mit Nebenbedingungen | 552 | ||||
| 8.7.4 | Übungen und Aufgaben | 565 | ||||
| Einige Aufgaben aus den Halbjahresprüfungen | 571 | |||||
| 1. | Einführung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) | 571 | ||||
| 2. | Differentialrechnung in einer Variablen | 572 | ||||
| 3. | Integration und Einführung mehrerer Variabler | 574 | ||||
| 4. | Differentialrechnung mehrerer Variabler | 575 | ||||
| Prüfungsgebiete | 579 | |||||
| 1. | Erstes Semester | 579 | ||||
| 1.1 | Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen | 579 | ||||
| 2. | Zweites Semester | 581 | ||||
| 2.1 | Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen | 581 | ||||
| Literaturverzeichnis | 585 | |||||
| 1. | Klassische Werke | 585 | ||||
| 1.1 | Hauptquellen | 585 | ||||
| 1.2 | Wichtige umfassende grundlegende Werke | 585 | ||||
| 1.3 | Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts | 585 | ||||
| 2. | Lehrbücher | 586 | ||||
| 3. | Studienunterlagen | 586 | ||||
| 4. | Weiterführende Literatur | 587 | ||||
| Sachverzeichnis | 589 | |||||
| Namensverzeichnis | 597 | |||||
Sachverzeichnis
AAbbildung, 13-24
- Berührungsordnung, 192
- beschränkte, 117, 439
- bijektive, 17
- gleichmäßig stetige, 169
- Identität, 19
- injektive, 17
- inverse, 18, 20, 522-524
- konstante, 115
- lineare, 452-453
- Rang, 527
- schließlich beschränkte, 117, 439
- stetige, 157-162, 444-449
- surjektive, 17
- verkettete, 18
- zusammengesetzte, 18
Abel-Dirichlet Konvergenztest, 424
Abelsche Gruppe, 38, 52
Abelsche Umformung, 372
Abelscher Satz zu Potenzreihen, 283
Ableitung, 187-194, 457
arithmetische Operationen, 201-205
- einer impliziten Funktion, 213-218
- einer inversen Funktion, 208-213, 470
- einer Potenzreihe, 291
- einer verketteten Funktion, 205-208, 465
- höherer Ordnung, 218
- komplexe Funktion, 291
- Linearität, 462
- logarithmische, 207
- nach einem Vektor, 467-470
- partielle, 459, 467, 481-484
- Tabelle der Elementarfunktionen, 214
Abschluss einer Menge, 435
Absolutwert, 60
Abstand
auf der reellen Geraden, 60
- in Rm , 432
- zwischen Mengen, 438- Äquivalenzrelation, 22
algebraische Abgeschlossenheit, 293-297
analytische Funktion, 235
Anordnung, 40
archimedisches Prinzip, 55
Areasinus Hyperbolicus, 210
Asymptote eines Graphen, 265
asymptotische Äquivalenz von
- Funktionen, 147
asymptotisches Verhalten einer
- Funktion, 144, 148
Aussonderungsaxiom, 29
Auswahlaxiom, 31
Axiom
- Dedekind- 69
- Vollständigkeits- 40, 46, 69, 74, 77
Axiomensystem, 29, 41, 73
- der Mengenlehre, 7
- der reellen Zahlen, 38, 56, 69
BBasis (Filterbasis), 133, 135
Basis, orthonormale, 455
Bernoullische Ungleichung, 70, 94, 251
Bernoullisches Gesetz, 474
Berührungsordnung, 192
Beschleunigung, 181, 195
Betrag einer reellen Zahl, 60
Bild einer Funktion, 17
Binomialsatz, 234
binomische Formel, 70, 219
Bolzano-Weierstraß, Lemma von, 95, 99
Bolzano-Weierstraß, Satz von, 76
Borel-Lebesgue, Satz von, 75
Brechungsgesetz, 251
Buckinghamsches II-Theorem, 477
CCantor-Menge, 82
Cauchy
- Hauptwert, 427
- Konvergenzkriterium für eine
- Funktion, 137, 441
- Konvergenzkriterium für Folgen, 90
- Konvergenzkriterium für uneigentliche Integrale, 418
- Konvergenzkriterium in Rn , 440
- Mittelwertsatz, 229
Cauchy Bunjakowski Ungleichung, 377
Cauchy-Cantor, Satz von, 74
Cauchy-Hadamard, Formel von, 282
Cauchy-Folge, 280, 440
Cosinus Hyperbolicus, 210, 286
Cotangens Hyperbolicus, 212
DDarboux-Summe, 355, 363
de Moivre Formel, 288
Definitionsmenge, 13
Dezimalsystem, 49
Diffeomorphismus, 522
- einfacher, 534
Differential einer Funktion, 187-194, 451-461
Differentialgleichung, 186, 301-316, 342
Differentiation
- arithmetische Operationen, 201-205
- bei mehreren Variablen, 480-481
- einer impliziten Funktion, 213-218
- einer inversen Funktion, 208-213, 470
- einer Potenzreihe, 291
- einer verketteten Funktion, 205-208, 465
- Linearität, 462
Dimensionsanalyse, 475
direktes Produkt, 10
Dirichlet-Funktion, 164
Dreiecksungleichung, 60, 253, 432, 454
EEinheitswurzel, 279
Einschränkung einer Funktion, 13
Element einer Menge, 8elliptisches Integral, 402, 409
endliche Überdeckung, 75
Energie, 405
Ersetzungsaxiom, 30
euklidischer Algorithmus, 70, 110
euklidischer Raum, 456
Eulersche Formel, 285
Eulersche Gleichung, 474
Eulersche Konstante, 154
eulersches Polygonzug verfahren, 311
Exponentialfunktion, 123-128, 198, 310
- mit komplexem Argument, 285
Extensionalitätsaxiom, 29
Extremum, 223, 486
- Bedingung für ein, 247-249
- inneres, 224
- mit Nebenbedingung, 542, 552-565
Extremwertsatz, 168
FFaktorisierung eines Polynoms, 296
Faser, 24
Fehler, 62-64, 207
- absoluter, 84
Fehlerfunktion, 429
Fermat, Satz von, 224
Fermatsches Prinzip, 251
Fibonacci Zahlen, 110 finite Differenzen, 245
- Fläche, 493, 542
- Dimension, 542-543
- Trapez, 402
Folge, 74, 84
- absteigende, 92
- anwachsende, 92
- beschränkte, 86, 92
- Cauchy- 90, 440
- divergente, 85
fundamentale, 90, 280, 440
- geschachtelte, 75, 76
- komplexer Zahlen, 280
- konvergente, 85
- monotone, 92
- schließlich konstante, 86fundamentale Folge, 280, 440
Fundamentalsatz der Algebra, 295-296
Fundamentalsatz der Arithmetik, 70
Fundamentalsatz der Integral- und
- Differentialrechnung, 380
Funktion, 12-24
- absteigende, 142
- analytische, 235, 293
- anwachsende, 142
- asymptotisches Verhalten, 144
- beschränkte, 117, 439
- bijektive, 17
- differenzierbare in einem Punkt, 186-187, 456
- Dirichlet- 164, 362
- Durchschnitt, 389
- Exponential- 123-128, 198, 310
- gleichmäßig stetige, 169
- harmonische, 498
- homogene, 475
- Hyperbel- 210
- implizite, 213-218, 221, 504-514
- infinite, 145
- infinitesimale, 118-120, 144, 145
- injektive, 17
- integrierbare, 349
- inverse, 18, 172-175, 208, 522-524
- involutive, 274
- komplexe, 288
- konkave, 254
- konstante, 115, 228, 247
- konvexe, 253-256
- Lagrange, 555
- Logarithmus, 128-132
- mehrerer Variabler, 431-449
- monotone, 142, 143, 228, 246
- Niveaufläche, 554
- Oszillation, 440, 445
- periodische, 288
- Potenz- 132
- Riemann- 164, 362
- schließlich beschränkte, 117, 119, 136, 143, 439
- schließlich konstante, 117
- stetige, 157-162, 444-449
- surjektive, 17
- verkettete, 18
- zusammengesetzte, 18
Funktional, 13, 15, 365funktionale Abhängigkeit, 533
Funktionskeim, 179
GGalilei-Transformation, 215-218
Geschwindigkeit
- Invarianz, 203
- momentane, 182-186
gleichmäßige Stetigkeit, 169-171, 446
- Satz von Heine, 171
Gradient, 469-470
Gradientenmethode, 470
Graph, 253-276, 493-497
- einer inversen Funktion, 176
Grenzwert
- auf einer Basis, 132-137
- einer Folge, 84-86, 90, 96
- einer Funktion, 112-143, 439
- einer Teilfolge, 97
größte untere Schranke, 47
Gruppe, 38
HHadamard Ungleichung, 569
Hadamard, Lemma, 537
Häufungspunkt, 76
Hamilton-Gleichungen, 520
harmonische Funktion, 498
harmonischer Oszillator, 314
Häufungspunkt, 435
hebbare Unstetigkeit, 163
Heine-Borel, Satz von, 75
Hermite Polynom, 244
Hessesche Matrix, 519
Höldersche Ungleichung, 252, 377
Homöomorphismus, 522
Hyperbelfunktion, 286
Iimaginäre Einheit, 276
implizite Funktion, 504-514
Induktionsprinzip, 49, 50
Infimum, 47
inneres Produkt, 455
Integral, 377-389
- absolute Konvergenz, 419
- bedingte Konvergenz, 423
- bestimmtes, 345-349
- cosinus, 328
- Darboux-Summe, 355
- elliptisches, 337, 340, 402, 409
- Gauss- 425
- Haupt wert, 427
- Linearität, 365
- logarithmus, 329, 427
- Mittelbildung, 388
- rationaler Teil, 338
- Riemannsches, 348-349
- Singularitäten, 425
- sinus, 328
- unbestimmtes, 321-329
- uneigentliches, 413-418
- Vergleichssatz, 420
Integration, 345
- Änderung der Variablen, 326, 383
- Kriterium nach Lebesgue, 359
- Mittelwertsatz, 370-376
- partielle, 326, 381, 417
- Substitution, 326, 383
Intervall, 59
- schachtelung, 74
- Länge, 55
Intervallfunktion, 368, 393
inverse Funktion, 172-175, 522
- Ableitung, 470
- Stetigkeit, 175
Isomorphismus, 41
JJacobimatrix, 461, 487
Jensen-Ungleichung, 259, 377
KKardinalzahl, 27
kartesisches Produkt, 10
Kepler sehe Fassregel, 391
Keplersches zwei-Körper Problem, 181
Kettenbruch, 109
Kettenregel, 205, 465
kleinste obere Schranke, 47
Körper, 72
- algebraischer, 39
kompakte Menge, 169, 436
Komplement einer Menge, 9komplexe Zahl, 276-299
- Betrag, 277
konjugierte, 277
- Polardarstellung, 278
konkave Funktion, 254
Kontinuum, 80
Konvergenz
- M-Test, 104
- absolute, 102, 104, 281, 419
- Cauchysches Kriterium für Reihen, 100
- einer Folge, 85
Kriterium für eine Funktion, 137
Kriterium für komplexe Reihen, 281
Kriterium für monotone Folgen, 92
Kriterium für Reihen, 102
Kriterium für uneigentliche Integrale, 418
Kriterium nach Cauchy für Folgen, 90
Kriterium nach D'Alembert, 105, 234
- Majorantenkriterium, 104
- notwendige Bedingung bei Reihen, 100
- von Reihen, 100
Konvergenzradius, 282
Konvergenztest
- Abel-Dirichlet, 424
- Cauchyscher, 104
- Gauss'scher, 155
- Quotientenkriterium, 105
- Weierstraßscher, 92, 104
Konvexität, 254-256
Koordinaten
- achsen, 494
- eines Punktes, 58
- inRm , 432
krummlinige, 493-494
- Polar- 278, 524
- sphärische, 525
kritischer Punkt, 487
- entarteter, 537
Krümmung, 275
Kurve
Krümmung, 275
- parametrisierte, 396
- Rektifizierung, 526
- Schmiegekreis, 276
Kurvenlänge, 395-402
LLagrange
- Funktion, 559
- Multiplikatoren, 555
- Polynom, 244, 391
- Schrankensatz, 227
Laplace-Operator, 498
Lebesgue Integrierbarkeit, 359
Legendre Polynom, 390
Legendre-Transformation, 274, 518-519
Legendresche Normalform, 338
Leibnizsche Formel, 219
l'Höpital, Regel von, 261
Limes inferior und superior, 96
lineare Abbildung, 452-453
logarithmische Skala, 208
Logarithmus, 128, 129
- natürlicher, 129, 300
Lorentz-Transformation, 217
MMacLaurin-Formel, 231
Mächtigkeit
- des Kontinuums, 80-81
- einer Menge, 78
Mächtigkeit einer Menge, 27
Major ante, 46
Majorantenkriterium, 104
Mannigfaltigkeit, 543
Mantisse, 73
Matrix, 453
Maximum, 47, 168
- lokales, 223, 248-250, 486-493
mit Nebenbedingung, 542
Menge, 5-11, 27
- abgeschlossene, 433-437
- Abschluss, 435
- Abstand, 438
- abzählbare, 78
- äquipotente, 27
- beschränkte, 46, 437-438
- Durchmesser, 437
- endliche, 28
- induktive, 30, 49
- invariante, 26
- kompakte, 169, 436
- Komplement, 9
- komplexe Zahlen, 276
- leere, 9
Mächtigkeit, 78
Maß Null, 359
- offene, 433-437
- Potenz- 28
- stetige Funktionen, 160
- überabzählbare, 80
- zusammenhängende, 447
Methode der kleinsten Quadrate, 500
Methode der unbestimmten Koeffizienten, 298, 312
Metrik, 432-433
Minimalabweichung, 178
Minimum, 47, 168
- lokales, 223, 248-250, 486-493
mit Nebenbedingung, 542
Minkowskische Ungleichung, 252, 377
Minorante, 46
Mittel
- arithmetisches, quadratisches, 111
- einer Funktion, 388
- harmonisches, 101, 111
Mittelwertsatz, 226-229, 478
- der Integration, 370-376
- verallgemeinerter, 229
Modell
- Absorption, 318
- barometrische Höhenformel, 304
- Fall in der Atmosphäre, 308
- Feder elastische, 405
- ideale inkompressible Flüssigkeit, 473
- Parabolspiegel, 196
- Pendel, 408
- Radioaktivität, 306
- Rakete, 302
- Schleifvorgang, 502
- Schwingung, 313
Monotonie
- Bedingung, 246
- einer Funktion, 228
- inverse Funktion, 172
Morse-Lemma, 537
NNewton-Leibniz Formel, 346
Newtonsches Gesetz, 181
Newtonsches Potential, 410
Niveaufläche, 554
- kurve, 505
- menge, 472
Norm eines Vektors, 185, 453-455
Normalenvektor, 495
Nullstelle
- eines Polynoms, 245, 293-299
- Vielfachheit, 297
Nullteiler, 72
Oorthogonale Vektoren, 455
Ostrogradski, Methode nach, 338
Oszillation einer Funktion, 137, 160, 440, 445
PPaarungsaxiom, 29
Parametrisierung einer Kurve, 396
Partialbruchzerlegung, 298, 331
partielle Ableitung, 459, 467
- höherer Ordnung, 481-484
partielle Integration, 326, 381
Pendel, 408
Periode einer Funktion, 201
periodische Funktion, 288
Planetenbahn, 320
Polarkoordinaten, 278, 524
Polygonzug verfahren, 311
Polynom
- Faktorisierung, 296
- Hermite, 244
- Lagrange, 391
- Lagrangesches, 244
- Legendre, 390
- Nullstellen, 293-299
Potential
- feld, 473
- einer Kraft, 405-407
Potenzfunktion, 132
Potenzmenge, 28
Potenzmengenaxiom, 30
Potenzreihe, 282-284
- Abelscher Satz, 283
- Ableitung, 291
Primzahl, 52, 143-148
Projektion, 11, 14, 446
Proximum, 178
QQuadratur, 392
Quantor, 8
Quotientenkriterium, 105
RRang einer Abbildung, 527
Rang-Satz, 527
Raum
- euklidischer, 456
- metrischer, 432
- Tangential- 547
- vollständiger, 138, 440
Rechteckregel, 392
Reihe, 99
- absolut konvergente, 102
- geometrische, harmonische, 101
- konvergente, 100
- Konvergenztest durch Integration, 419
- numerische, 100
- Potenz- 232
- Produkt, 284
- Taylor- 233
- Umordnung, 101
- Vergleichssatz, 103
Rektifizierung, 526
Relation, 21-23
- Anordnungs- 22, 59
- funktionale, 23
- Inklusion, 72
Restglied in der Taylorschen Formel, 230-242, 484
- nach Cauchy, 231
- nach Lagrange, 231, 238, 383, 485
- nach Peano, 237, 485
Restriktion, 13
Richtungsableitung, 470
Riemann-Funktion, 164, 362
Riemannsche Summe, 346-349
- Treppenfunktion, 355
Rolle
- Satz von, 500
Rolle, Satz von, 225
SSattelpunkt, 495
Schmiegekreis, 276
Schranke einer Menge, 46
Schrankensatz, 227
Schröder-Bernstein, 33
Schwarzsehe Ungleichung, 377
Schwingung, 313-316
Sekante, 192
Simpson-Regel, 392
Sinus Hyperbolicus, 210, 286
Snelliussches Gesetz, 250
sphärische Koordinaten, 525
Spur eines Weges, 396
Stammfunktion, 321-329, 377-381
- rationaler Funktionen, 329
stationärer Punkt, 487
Stellenwertsystem, 65
Stetigkeit, 157-162
- gleichmäßige, 169-171, 446
- Grenzwert bildung, 159
- inverse Funktion, 175
- monotone Funktion, 174
Satz von Heine, 171
Stetigkeitsmaß, 177
Stromlinie, 474
Supremum, 47
Symbol
- o, 145
- O, 147
TTangens Hyperbolicus, 212
Tangente, 184-193
Tangential
- abbildung, 457, 487
- ebene, 494-497
- räum, 457, 547-552
- vektor, 495
Taylor
- Entwicklung einer Funktion, 232-242
- Formel, 229-242, 381-383, 484-485
- Restglied, 230-242
- Polynom, 236-240
Reihe, 293
Teilfolge, 95
Teilgrenzwert, 97
Teilmenge, 7
- Topologie, 114
Transformation, 13
- Galilei- 14
- lineare, 452-453
- Lorentz- 14
Trapezregel, 392
Treppenfunktion, 355
Tschebyscheff
- Polynome, 179
U- Überdeckungssatz, 75
Umgebung
- eines Punktes, 61, 76, 112, 433
- punktierte, 112
Unendlichkeitsaxiom, 30
Unstetigkeit, 162-165
Urbild einer Funktion, 17
VVektor
- feld, 473
- Normalen- 495
- orthogonaler, 455
- Tangential- 495
Vektorraum, 451
- U[a, b], 357
Vereinigungsaxiom, 29
Vergleichssatz, 103, 420
Verkettung von Abbildungen, 19, 205, 453, 465
Vielfachheit einer Nullstelle, 297
Viete's Formel, 155
Vollständigkeitsaxiom, 40, 46, 69, 74
Volumen eines Drehkörpers, 404
WWärmegleichung, 498
Weg, 395
- äquivalenter, 472
- Spur, 396
Weglänge, 395-402
Weierstraß
- Extremwertsatz, 168
- Konvergenzkriterium, 92
Wendepunkt, 258
Wertebereich, 13
Wurzel
- n-te, 124
- einer komplexen Zahl, 279
YYoungsche Ungleichung, 251
ZZahl
- algebraische, 55, 71
- e, 94, 107-109, 128-141
- Fibonacci, 110
- ganze, 52
- irrationale, 55, 71
- komplexe, 276
- natürliche, 49
- PI, 55
- positive, 46
- Prim- 52, 143-148
- rationale, 53, 57
- reelle, 37
- transzendente, 55, 71
Zahlengerade, 58
Zermelo-Praenkel-Mengenlehre, 31
Zwischenwertsatz, 167
Namensverzeichnis
AAbel, N, 38, 283, 337, 372, 424
Archimedes 55, 56
BBernoulli, Daniel, 474
Bernoulli, Jakob, 70, 94
Bernoulli, Johann, 20, 251, 261
Bernstein, F., 28
Bölyai, J., 21
Bolzano, B., 76, 90, 95, 167, 201
Bonnet, P., 375
Borel, E, 75
Bourbaki, N., 5
Buffon, G, 412
Bunjakowski, B., 377
CCantor, G., 5, 28, 74, 80
Carnot, L., 120
Cauchy, A., 62, 74, 90, 100, 104, 106, 137, 167, 229, 231, 280, 440
Clapeyron, B., 304
Cohen, R, 81
Dd'Alembert, J., 105
Darboux, G., 243, 355
de Moivre, A., 279, 288
de Morgan, A., 10
Dedekind, R., 28, 69, 71
Descartes, R., 11
Dirichlet, R, 164, 424
du Bois-Reymond, P., 364
EEinstein, A., 452
Euklid , 70, 81
Euler, L., 94, 154, 285, 311, 342
FFermat, R, 11, 224, 250
Fibonacci (Leonardo of Pisa), 110
Fraenkel, A., 31
Fresnel, A., 342
GGalilei, Galileo, 1, 14
Gauss, C, 155, 296
Gel'fond, A., 55
HHadamard, J., 282, 537
Hamilton, W., 520
Heine, E., 75, 116, 171
Hermite, Ch., 244
Hubert, D., 55, 69
Holder, O., 252, 261, 377
Hooke, R., 319
Huygens, Ch., 412, 492
JJacobi, C, 461
Jensen, J., 259
KKelvin, Lord (W.
Thomson J. 304
Kepler, J., 181
LLacroix, S., 21
Lagrange, J., 189, 226, 231, 555
Laplace, P., 498
Lebesgue, H., 75, 359
Legendre, A., 274, 390, 518
Leibniz, G., 1, 219, 346, 380
l'Hopital, G., 261
Lindemann, F., 55
Liouville, J., 71, 337
Lobachevski, N., 21
Lorentz, H., 14, 217
MMacLaurin, C, 231
Maxwell, J., 476
Meshcherski, L, 303
Minkowski, H., 252, 377
Morse, M., 537
NNewton, L, 1, 70, 181, 234, 346, 380
OOhm, G., 26
Ostrogradski, M., 338
PPeano, G., 28, 237
Poincare, H., 1
Poisson, S., 342
RRiemann, B., 164, 346
Rolle, M., 225
Russell, B., 7, 30
SSchneider, T., 55
Schröder, E., 28
Schwarz, H., 377
Simpson, T., 392
Snell van Royen, W., 250
Stokes, G., 381
Sylvester, J., 489
TTaylor, B., 230, 381, 484
Tschebyscheff, R, 144, 179
Tsiolkowski, K., 303
VVallee Poussin, Ch., 178
van der Waerden, B., 201
Viete, F., 155
von Neumann, J., 30
WWeierstraß, K., 76, 92, 95, 168, 201
YYoung, W., 251
ZZermelo, E., 31
