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| Inhaltsverzeichnis | ||||||
| 1 | Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen | 1 | ||||
| 1.1 | Logische Symbole | 1 | ||||
| 1.1.1 | Bindewörter und Klammern | 1 | ||||
| 1.1.2 | Hinweise zu Beweisen | 3 | ||||
| 1.1.3 | Einige besondere Schreibweisen | 3 | ||||
| 1.1.4 | Abschließende Anmerkungen | 3 | ||||
| 1.1.5 | Übungen | 4 | ||||
| 1.2 | Mengen und elementare Mengenoperationen | 5 | ||||
| 1.2.1 | Der Begriff einer Menge | 5 | ||||
| 1.2.2 | Teilmengen | 7 | ||||
| 1.2.3 | Elementare Mengenoperationen | 9 | ||||
| 1.2.4 | Übungen | 11 | ||||
| 1.3 | Funktionen | 12 | ||||
| 1.3.1 | Der Begriff einer Funktion (Abbildung) | 12 | ||||
| 1.3.2 | Elementare Klassifizierung von Abbildungen | 17 | ||||
| 1.3.3 | Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen | 18 | ||||
| 1.3.4 | Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion | 20 | ||||
| 1.3.5 | Übungen | 24 | ||||
| 1.4 | Ergänzungen | 27 | ||||
| 1.4.1 | Die Mächtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) | 27 | ||||
| 1.4.2 | Axiome der Mengenlehre | 29 | ||||
| 1.4.3 | Sätze in der Sprache der Mengenlehre | 31 | ||||
| 1.4.4 | Übungen | 33 | ||||
| 2 | Die reellen Zahlen | 37 | ||||
| 2.1 | Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen | 38 | ||||
| 2.1.1 | Definition der Menge der reellen Zahlen | 38 | ||||
| 2.1.2 | Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen | 42 | ||||
| 2.1.3 | Das Vollständigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke | 46 | ||||
| 2.2 | Klassen reeller Zahlen und Berechnungen | 49 | ||||
| 2.2.1 | Die natürlichen Zahlen. Mathematische Induktion | 49 | ||||
| 2.2.2 | Rationale und irrationale Zahlen | 52 | ||||
| 2.2.3 | Das archimedische Prinzip | 55 | ||||
| 2.2.4 | Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen | 57 | ||||
| 2.2.5 | Übungen und Aufgaben | 70 | ||||
| 2.3 | Wichtige Sätze zur Vollständigkeit | 74 | ||||
| 2.3.1 | Der Satz zur Intervallschachtelung | 74 | ||||
| 2.3.2 | Der Satz zur endlichen Überdeckung | 75 | ||||
| 2.3.3 | Der Satz vom Häufungspunkt | 76 | ||||
| 2.3.4 | Übungen und Aufgaben | 77 | ||||
| 2.4 | Abzählbare und überabzählbare Mengen | 78 | ||||
| 2.4.1 | Abzählbare Mengen | 78 | ||||
| 2.4.2 | Die Mächtigkeit des Kontinuums | 80 | ||||
| 2.4.3 | Übungen und Aufgaben | 81 | ||||
| 3 | Grenzwerte | 83 | ||||
| 3.1 | Der Grenzwert einer Folge | 84 | ||||
| 3.1.1 | Definitionen und Beispiele | 84 | ||||
| 3.1.2 | Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge | 86 | ||||
| 3.1.3 | Existenz des Grenzwertes einer Folge | 90 | ||||
| 3.1.4 | Elementares zu Reihen | 99 | ||||
| 3.1.5 | Übungen und Aufgaben | 109 | ||||
| 3.2 | Der Grenzwert einer Funktion | 112 | ||||
| 3.2.1 | Definitionen und Beispiele | 112 | ||||
| 3.2.2 | Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion | 116 | ||||
| 3.2.3 | Grenzwert auf einer Basis | 132 | ||||
| 3.2.4 | Existenz des Grenzwertes einer Funktion | 137 | ||||
| 3.2.5 | Übungen und Aufgaben | 153 | ||||
| 4 | Stetige Funktionen | 157 | ||||
| 4.1 | Wichtige Definitionen und Beispiele | 157 | ||||
| 4.1.1 | Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt | 157 | ||||
| 4.1.2 | Unstetigkeitsstellen | 162 | ||||
| 4.2 | Eigenschaften stetiger Funktionen | 165 | ||||
| 4.2.1 | Lokale Eigenschaften | 165 | ||||
| 4.2.2 | Globale Eigenschaften stetiger Funktionen | 167 | ||||
| 4.2.3 | Übungen und Aufgaben | 176 | ||||
| 5 | Differentialrechnung | 181 | ||||
| 5.1 | Differenzierbare Funktionen | 181 | ||||
| 5.1.1 | Problemstellung und einleitende Betrachtungen | 181 | ||||
| 5.1.2 | In einem Punkt differenzierbare Funktionen | 186 | ||||
| 5.1.3 | Tangenten und geometrische Interpretation der Ableitung | 189 | ||||
| 5.1.4 | Die Rolle des Koordinatensystems | 192 | ||||
| 5.1.5 | Einige Beispiele | 194 | ||||
| 5.1.6 | Übungen und Aufgaben | 200 | ||||
| 5.2 | Wichtige Ableitungsregeln | 201 | ||||
| 5.2.1 | Differentiation und arithmetische Operationen | 201 | ||||
| 5.2.2 | Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) | 205 | ||||
| 5.2.3 | Differentiation einer inversen Funktion | 208 | ||||
| 5.2.4 | Ableitungstabelle der Elementarfunktionen | 213 | ||||
| 5.2.5 | Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion | 213 | ||||
| 5.2.6 | Ableitungen höherer Ordnung | 218 | ||||
| 5.2.7 | Übungen und Aufgaben | 222 | ||||
| 5.3 | Die zentralen Sätze der Differentialrechnung | 223 | ||||
| 5.3.1 | Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle | 223 | ||||
| 5.3.2 | Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy | 225 | ||||
| 5.3.3 | Die Taylorschen Formeln | 229 | ||||
| 5.3.4 | Übungen und Aufgaben | 242 | ||||
| 5.4 | Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen | 246 | ||||
| 5.4.1 | Bedingungen für die Monotonie einer Funktion | 246 | ||||
| 5.4.2 | Bedingungen für ein inneres Extremum einer Funktion | 247 | ||||
| 5.4.3 | Bedingungen für die Konvexität einer Funktion | 253 | ||||
| 5.4.4 | Die Regel von L'Hopital | 261 | ||||
| 5.4.5 | Das Konstruieren von Graphen von Funktionen | 263 | ||||
| 5.4.6 | Übungen und Aufgaben | 272 | ||||
| 5.5 | Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen | 276 | ||||
| 5.5.1 | Komplexe Zahlen | 276 | ||||
| 5.5.2 | Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern | 280 | ||||
| 5.5.3 | Eulersche Formel und Elementarfunktionen | 285 | ||||
| 5.5.4 | Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung | 288 | ||||
| 5.5.5 | Algebraische Abgeschlossenheit des Körpers C | 293 | ||||
| 5.5.6 | Übungen und Aufgaben | 300 | ||||
| 5.6 | Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften | 301 | ||||
| 5.6.1 | Bewegung eines Körpers mit veränderlicher Masse | 302 | ||||
| 5.6.2 | Die barometrische Höhenformel | 304 | ||||
| 5.6.3 | Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren | 306 | ||||
| 5.6.4 | In der Atmosphäre fallende Körper | 308 | ||||
| 5.6.5 | Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x | 310 | ||||
| 5.6.6 | Schwingungen | 313 | ||||
| 5.6.7 | Übungen und Aufgaben | 316 | ||||
| 5.7 | Stammfunktionen | 320 | ||||
| 5.7.1 | Stammfunktionen und das unbestimmte Integral | 321 | ||||
| 5.7.2 | Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion | 323 | ||||
| 5.7.3 | Stammfunktionen rationaler Funktionen | 329 | ||||
| 5.7.4 | Stammfunktionen der Form J R(cosx, sinx) dx | 333 | ||||
| 5.7.5 | Stammfunktionen der Form J R(x, y(x)) dx | 335 | ||||
| 5.7.6 | Übungen und Aufgaben | 338 | ||||
| 6 | Integralrechnung | 345 | ||||
| 6.1 | Definition des Integrals | 345 | ||||
| 6.1.1 | Problemstellung und einführende Betrachtungen | 345 | ||||
| 6.1.2 | Definition des Riemannschen Integrals | 347 | ||||
| 6.1.3 | Die Menge der integrierbaren Funktionen | 349 | ||||
| 6.1.4 | Übungen und Aufgaben | 363 | ||||
| 6.2 | Linearität, Additivität und Monotonie des Integrals | 365 | ||||
| 6.2.1 | Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] | 365 | ||||
| 6.2.2 | Das Integral als eine additive Intervallfunktion | 365 | ||||
| 6.2.3 | Abschätzung, Monotonie und Mittelwertsatz | 368 | ||||
| 6.2.4 | Übungen und Aufgaben | 376 | ||||
| 6.3 | Das Integral und die Ableitung | 377 | ||||
| 6.3.1 | Das Integral und die Stammfunktion | 377 | ||||
| 6.3.2 | Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung | 380 | ||||
| 6.3.3 | Partielle Integration und Taylorsche Formel | 381 | ||||
| 6.3.4 | Änderung der Variablen in einem Integral | 383 | ||||
| 6.3.5 | Einige Beispiele | 385 | ||||
| 6.3.6 | Übungen und Aufgaben | 390 | ||||
| 6.4 | Einige Anwendungen der Integralrechnung | 393 | ||||
| 6.4.1 | Additive Intervallfunktionen und das Integral | 393 | ||||
| 6.4.2 | Bogenlänge | 395 | ||||
| 6.4.3 | Die Fläche eines krummlinigen Trapezes | 402 | ||||
| 6.4.4 | Volumen eines Drehkörpers | 404 | ||||
| 6.4.5 | Arbeit und Energie | 404 | ||||
| 6.4.6 | Übungen und Aufgaben | 411 | ||||
| 6.5 | Uneigentliche Integrale | 413 | ||||
| 6.5.1 | Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften | 413 | ||||
| 6.5.2 | Konvergenz eines uneigentlichen Integrals | 418 | ||||
| 6.5.3 | Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularität . | 425 | ||||
| 6.5.4 | Übungen und Aufgaben | 428 | ||||
| 7 | Funktionen mehrerer Variabler | 431 | ||||
| 7.1 | Der Raum Rmund seine Unterräume | 432 | ||||
| 7.1.1 | Die Menge Rmund der Abstand in dieser Menge | 432 | ||||
| 7.1.2 | Offene und abgeschlossene Mengen in Rm | 433 | ||||
| 7.1.3 | Kompakte Mengen in Rm | 436 | ||||
| 7.1.4 | Übungen und Aufgaben | 438 | ||||
| 7.2 | Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler | 438 | ||||
| 7.2.1 | Der Grenzwert einer Funktion | 438 | ||||
| 7.2.2 | Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler | 444 | ||||
| 7.2.3 | Übungen und Aufgaben | 449 | ||||
| 8 | Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler | 451 | ||||
| 8.1 | Die lineare Struktur auf Rm | 451 | ||||
| 8.1.1 | Rmals Vektorraum | 451 | ||||
| 8.1.2 | Lineare Transformationen L : Rm-> Rn | 452 | ||||
| 8.1.3 | Die Norm in Rm | 453 | ||||
| 8.1.4 | Die euklidische Struktur auf Rm | 455 | ||||
| 8.2 | Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler | 456 | ||||
| 8.2.1 | Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt. | 456 | ||||
| 8.2.2 | Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten | 457 | ||||
| 8.2.3 | Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung | 460 | ||||
| 8.2.4 | Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem Punkt | 461 | ||||
| 8.3 | Die wichtigsten Gesetze der Differentiation | 462 | ||||
| 8.3.1 | Linearität der Ableitung | 462 | ||||
| 8.3.2 | Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) | 465 | ||||
| 8.3.3 | Ableitung einer inversen Abbildung | 470 | ||||
| 8.3.4 | Übungen und Aufgaben | 472 | ||||
| 8.4 | Reelle Funktionen mehrerer Variabler | 478 | ||||
| 8.4.1 | Der Mittelwertsatz | 478 | ||||
| 8.4.2 | Eine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit | 480 | ||||
| 8.4.3 | Partielle Ableitungen höherer Ordnung | 481 | ||||
| 8.4.4 | Die Taylorsche Formel | 484 | ||||
| 8.4.5 | Extrema von Funktionen mehrerer Variabler | 486 | ||||
| 8.4.6 | Einige geometrische Darstellungen | 493 | ||||
| 8.4.7 | Übungen und Aufgaben | 497 | ||||
| 8.5 | Der Satz zur impliziten Funktion | 504 | ||||
| 8.5.1 | Einleitung | 504 | ||||
| 8.5.2 | Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion | 506 | ||||
| 8.5.3 | Übergang zur Gleichung F(x1,. .., xm, y) = 0 | 510 | ||||
| 8.5.4 | Der Satz zur impliziten Funktion | 513 | ||||
| 8.5.5 | Übungen und Aufgaben | 518 | ||||
| 8.6 | Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion | 522 | ||||
| 8.6.1 | Der Satz zur inversen Funktion | 522 | ||||
| 8.6.2 | Lokale Reduktion in kanonische Form | 527 | ||||
| 8.6.3 | Funktionale Abhängigkeit | 532 | ||||
| 8.6.4 | Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus | 534 | ||||
| 8.6.5 | Das Morse-Lemma | 537 | ||||
| 8.6.6 | Übungen und Aufgaben | 540 | ||||
| 8.7 | Flächen in Rnund bedingte Extrema | 542 | ||||
| 8.7.1 | k-dimensionale Flächen in Rn | 542 | ||||
| 8.7.2 | Der Tangentialraum | 547 | ||||
| 8.7.3 | Extrema mit Nebenbedingungen | 552 | ||||
| 8.7.4 | Übungen und Aufgaben | 565 | ||||
| Einige Aufgaben aus den Halbjahresprüfungen | 571 | |||||
| 1. | Einführung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) | 571 | ||||
| 2. | Differentialrechnung in einer Variablen | 572 | ||||
| 3. | Integration und Einführung mehrerer Variabler | 574 | ||||
| 4. | Differentialrechnung mehrerer Variabler | 575 | ||||
| Prüfungsgebiete | 579 | |||||
| 1. | Erstes Semester | 579 | ||||
| 1.1 | Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen | 579 | ||||
| 2. | Zweites Semester | 581 | ||||
| 2.1 | Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen | 581 | ||||
| Literaturverzeichnis | 585 | |||||
| 1. | Klassische Werke | 585 | ||||
| 1.1 | Hauptquellen | 585 | ||||
| 1.2 | Wichtige umfassende grundlegende Werke | 585 | ||||
| 1.3 | Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts | 585 | ||||
| 2. | Lehrbücher | 586 | ||||
| 3. | Studienunterlagen | 586 | ||||
| 4. | Weiterführende Literatur | 587 | ||||
| Sachverzeichnis | 589 | |||||
| Namensverzeichnis | 597 | |||||
