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| Teil I Grundlagen: Zahlen, Mengen, Abbildungen | ||
| 1 | Auftakt: \/2 | 3 |
| 1.1 | Übungen | 6 |
| 2 | Reelle, rationale und ganze Zahlen | 7 |
| 2.1 | Die reellen Zahlen | 7 |
| 2.2 | Die natürlichen Zahlen | 18 |
| 2.3 | Das Prinzip der vollständigen Induktion | 20 |
| 2.4 | Die ganzen und die rationalen Zahlen | 25 |
| 2.5 | Übungen | 27 |
| 3 | Logik, Mengen, Abbildungen | 29 |
| 3.1 | Logik und Beweise | 29 |
| 3.2 | Grundbegriffe der Mengenlehre | 34 |
| 3.3 | Abbildungen | 37 |
| 3.4 | Abzählbare Mengen | 42 |
| 3.5 | Warum Beweise? | 48 |
| 3.6 | Übungen | 49 |
| 4 | Kombinatorik | 53 |
| 4.1 | Fundamentale Abzählprinzipien | 53 |
| 4.2 | Fakultät, Binomialkoeffizienten und binomischer Lehrsatz | 55 |
| 4.3 | Übungen | 60 |
| 5 | Die Vollständigkeit der reellen Zahlen | 63 |
| 5.1 | Das Supremumsaxiom | 63 |
| 5.2 | Potenzen mit rationalen Exponenten | 68 |
| 5.3 | Das Extremalprinzip | 72 |
| 5.4 | Anmerkungen zum Axiomensystem der reellen Zahlen | 73 |
| 5.5 | Übungen | 76 |
| 6 | Komplexe Zahlen | 79 |
| 6.1 | Pragmatischer Standpunkt | 79 |
| 6.2 | Geometrischer Standpunkt | 80 |
| 6.3 | Übungen | 84 |
| Teil II Folgen und Reihen: Konvergenz | ||
| 7 | Konvergenz von Folgen | 89 |
| 7.1 | Folgen in der Mathematik | 90 |
| 7.2 | Definition der Konvergenz | 91 |
| 7.3 | Konvergenz, algebraische Operationen und Anordnung | 95 |
| 7.4 | Der Grenzwert .unendlich' | 98 |
| 7.5 | Beispiele und Strategien zur Grenzwertberechnung | 102 |
| 7.6 | Konvergenz und Vollständigkeit | 108 |
| 7.7 | Übungen | 116 |
| 8 | Reihen | 121 |
| 8.1 | Definition und Beispiele | 121 |
| 8.2 | Konvergenzkriterien für Reihen | 126 |
| 8.3 | Umordnung von Reihen | 134 |
| 8.4 | Doppelreihen, Cauchy-Produkt | 136 |
| 8.5 | Übungen | 139 |
| Teil III Funktionen | ||
| 9 | Potenzreihen | 147 |
| 9.1 | Konvergenz von Potenzreihen | 147 |
| 9.2 | Erzeugende Funktionen* | 151 |
| 9.3 | Übungen | 155 |
| 10 | Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz | 159 |
| 10.1 | Eigenschaften der Exponentialfunktion | 160 |
| 10.2 | Logarithmus und allgemeine Potenz | 162 |
| 10.3 | Weiteres zur Eulerschen Zahl e * | 168 |
| 10.4 | Übungen | 174 |
| 11 | Stetigkeit | 177 |
| 11.1 | Grenzwerte von Funktionen | 177 |
| 11.2 | Definition und elementare Eigenschaften der Stetigkeit | 184 |
| 11.3 | Die Hauptsätze über stetige Funktionen | 193 |
| 11.4 | Gleichmäßige Stetigkeit* | 203 |
| 11.5 | Funktionenfolgen; gleichmäßige Konvergenz | 206 |
| 11.6 | Übungen | 212 |
| 12 | Differentialrechnung | 215 |
| 12.1 | Definition und Bedeutung der Ableitung | 215 |
| 12.2 | Berechnung der Ableitung | 222 |
| 12.4 | Ableitung und Grenzwertberechnung | 238 |
| 12.5 | Zweite Ableitung und Konvexität | 241 |
| 12.6 | Taylorapproximation und Taylorreihen | 244 |
| 12.7 | Übungen | 255 |
| 13 | Komplexe Zahlen: Folgen und Reihen, Funktionen | 259 |
| 13.1 | Folgen und Reihen komplexer Zahlen | 259 |
| 13.2 | Komplexe Potenzreihen | 261 |
| 13.3 | Funktionen im Komplexen | 262 |
| 13.4 | Polardarstellung; Geometrie der komplexen Zahlen | 268 |
| 13.5 | Übungen | 272 |
| 14 | Die trigonometrischen Funktionen | 275 |
| 14.1 | Sinus und Kosinus | 275 |
| 14.2 | Weitere trigonometrische Funktionen | 281 |
| 14.3 | Übungen | 286 |
| 15 | Integration | 289 |
| 15.1 | Das Integral für Treppenfunktionen | 290 |
| 15.2 | Das Integral für Regelfunktionen | 293 |
| 15.3 | Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | 300 |
| 15.4 Berechnung von Integralen: Partielle Integration, | ||
| Substitution und Potenzreihen | 306 | |
| 15.5 | Uneigentliche Integrale | 316 |
| 15.6 | Übungen | 324 |
| Lösungen und Hinweise | 327 | |
