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| Inhalt | ||||||
| Einleitung | XIII/XX | |||||
| Kapitel I. Differentialrechnung im Komplexen | 1 | |||||
| 1. | Komplexe Zahlen | 1 | ||||
| 2. | Konvergente Folgen und Reihen | 16 | ||||
| 3. | Stetigkeit | 28 | ||||
| 4. | Komplexe Ableitung | 34 | ||||
| 5. | Die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen | 40 | ||||
| Kapitel II. Integralrechnung im Komplexen | 61 | |||||
| 1. | Komplexe Kurvenintegrale | 62 | ||||
| 2. | Der Cauchy'sche Integralsatz | 70 | ||||
| 3. | Die Cauchy'sche Integralformel | 86 | ||||
| Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz | 97 | |||||
| 1. | Gleichmäßige Approximation | 99 | ||||
| 2. | Potenzreihen | 104 | ||||
| 3. | Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen | 119 | ||||
| 4. | Singularitäten analytischer Funktionen | 130 | ||||
| 5. | Laurentzerlegung | 140 | ||||
| Anhang zu §4 und §5. Der Begriff der meromorphen Funktion | 153 | |||||
| 6. | Der Residuensatz | 161 | ||||
| 7. | Anwendungen des Residuensatzes | 170 | ||||
| Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen | 193 | |||||
| 1. | Die Gammafunktion | 194 | ||||
| 2. | Der Weierstraß'sche Produktsatz | 213 | ||||
| 3. | Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler | 222 | ||||
| 4. | Der kleine Riemann'sche Abbildungssatz | 227 | ||||
| Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes | 237 | |||||
| Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes | 243 | |||||
| Anhang C. Charakterisierungen von Elementargebieten | 248 | |||||
| Kapitel V. Elliptische Funktionen | 255 | |||||
| 1. | Die Liouville'schen Sätze | 256 | ||||
| 2. | Die Weierstraß'sche pFunktion | 266 | ||||
| 3. | Der Körper der elliptischen Funktionen | 273 | ||||
| Anhang zu §3. Der Torus als algebraische Kurve | 277 | |||||
| 4. | Das Additionstheorem | 285 | ||||
| 5. | Elliptische Integrale | 291 | ||||
| 6. | Das Abel'sche Theorem | 298 | ||||
| 7. | Die elliptische Modulgruppe | 309 | ||||
| 8. | Die Modulfunktion j | 317 | ||||
| Kapitel VI. Elliptische Modulformen | 325 | |||||
| 1. | Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich | 326 | ||||
| 2. | Die k/12-Formel und die Injektivität der j-Funktion | 334 | ||||
| 3. | Die Algebra der Modulformen | 343 | ||||
| 4. | Modulformen und Thetareihen | 347 | ||||
| 5. | Modulformen zu Kongruenzgruppen | 361 | ||||
| Anhang zu §5. Die Thetagruppe | 373 | |||||
| 6. | Ein Ring von Thetafunktionen | 380 | ||||
| Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie | 391 | |||||
| 1. | Summen von vier und acht Quadraten | 392 | ||||
| 2. | Dirichletreihen | 410 | ||||
| 3. | Dirichletreihen mit Funktionalgleichungen | 418 | ||||
| 4. | Die Riemann'sche s-Funktion und Primzahlen | 432 | ||||
| 5. | Die analytische Fortsetzung der s-Funktion | 440 | ||||
| 6. | Ein Taubersatz | 448 | ||||
| Lösungen der Übungsaufgaben | 463 | |||||
| Literatur | 525 | |||||
| Symbolverzeichnis | 535 | |||||
| Index | 537 | |||||
Index
AAbbildungseigenschaften 119ff
Abel, N.H. (1802-1829) 26, 255, 299, 306
abelsche Gruppe 384
Abel'sche Identität 439
- partielle Summation 26
- Relation 299
Abel'sches Theorem 299, 347
abgeschlossen 31f
abgeschlossene Hülle 33
Ableitung der Gammafunktion 195
absolute Invariante 314ff, 320, 322, 325, 341f, 408
absolut konvergent 18, 117, 410
- konvergentes Produkt 200
Additionstheorem 255
- der elliptischen Funktionen 290
- Exponentialfunktion 19- p-Funktion 286
Additionstheoreme der hyperbolischen Funktionen 24
- Winkelfunktionen 7, 20
Additionstheorem für p' 290
Aerodynamik 59
affine Kurve 389
affiner Raum 280
Algebra der Modulformen 343, 346
algebraische Differentialgleichung 276
- der p-Funktion 276, 284
- - Kurve 277
allgemeine Cauchy'sche Integralformel 244
- - Version des Residuensatzes 248
analytisch 45
analytische Fortsetzung 120, 440
- Landschaft 56, 438
- Quadratwurzel 249
analytischer Logarithmus 249--Zweig des Logarithmus 79
analytisches Gebirge 56
analytische Zahlentheorie 391
Anschmiegungssatz von Mittag
- Leffler 226
Anzahl der Nullstellen 170
Anzahlformel für Null- und Polstellen 171
Apery, R. (1916-1994) 187
äquivalente Gitter 309
Äquivalenzklassen von Gittern 309, 313
Argument 7
Argumentprinzip 172
Assoziativgesetz 2
Äußeres einer geschlossenen Kurve 163
außerwesentliche Singularität 131, 155
außerwesentlich singulär in i∞ 334
Automorphiefaktor 364
Automorphismengruppe 127, 236
- - der Einheitskreisscheibe 127
- oberen Halbebene 317
- Zahlenebene 159
- Zahlkugel 159
- - eines Gebietes 228
BBabylonische Identität 355
Berechnung der Umlaufzahl 253
- - uneigentlicher Integrale 177
Bergsteiger 57
Bernoulli, Jacob (1654-1705) 115
Bernoulli'sche Zahlen 115, 186
Bessel, F.W. (1784-1846) 61, 152
Besselfunktion 118, 152
Bessel'sche Differentialgleichung 152
Bestimmung der Umlaufzahl 163
Betafunktion 211
Betrag 5
Binet, J.P.M. (1786-1856) 151
Binet'sche Formel 151
Binomialreihe 26
binomische Formel 8
Bogenlänge 65
bogenweise zusammenhängend 70
Bohr, H. (1887-1951) 212
Bolzano, B. (1781-1848) 33
Borel 99
Borel, E. (1871-1956) 32
Brücke 418
CCaratheodory, C. (1873-1950) 125
Casorati, F. (1835-1890) 134
Cauchy, A.L. (1789-1857) 11, 19, 24, 61, 77, 87, 106ff, 110, 117, 164
Cauchyfolge 24
Cauchy-Hadamard'sche Formel 117
Cauchykern 107
Cauchy-Riemann'sche Differentialgleichungen 40, 43, 57, 108
Cauchy-Riemann'scher Zugang zur Funktionentheorie 107
Cauchy'sche Abschätzungsformeln 118, 144
- - Integralformel 87
Cauchy'scher Hauptwert 177, 182, 191
- - Integralsatz 74, 141, 240, 244
- , Homologieversion 244
- , Homotopieversion 240
- für Dreieckswege 74
- für Ringgebiete 141
- - - für Sterngebiete 77
- - Multiplikationssatz für Reihen 19, 110
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung 11
Cayley, A. (1821-1895) 15, 60
Cayleyabbildung 60, 236
Cayley-Zahlen 15
Charakter 58, 365, 384
Charakterisierung der Exponentialfunktion 58
- T-Funktion 198, 210
- Riemann'schen s-Funktion 428f
- - von dr 399
Charakterrelation 385
Chinesischer Restsatz 378
Clausen, Th. (1801-1885) 28
Conrey, J.B. 459
Cramer'sche Regel 356
Crelle-Journal 28
DDarstellungsanzahlen quadratischer Formen 391
Darstellungssatz 347
Dedekind, R. (1831-1916) 409
Dedekind'sche n-Funktion 409
definierende Relation 388
de la Vallee-Poussin, C. (18661962) 438, 458
- - l'Hospital, G.F.A. (1661-1704) 139
Deligne, P. 359
Determinante 310
dicht 134
Differentialgleichung 48
- - der Besselfunktionen 152
- p-Funktion 255, 276, 284
Dimension des Vektorraums der
- Modulformen 345
Dimensionsformel 345
Dinghas, A. (1908-1974) 253
Dinosaurier 254
Dirichlet, J.G.RL. (1805-1959) 26, 457
Dirichlet-Integral 136
Dirichletreihe 410, 419, 448
- - mit Funktionalgleichung 418
Dirichlet'scher Primzahlsatz 431
diskret 119, 121, 128, 256, 264
Diskriminante 293, 314ff, 320, 324, 341, 344, 351, 408f
Distributivgesetz 2
Divisor 372
doppelt periodisch 257f
Drehstreckung 42, 52, 60, 256, 309
Dreiecksfläche 73
Dreiecksungleichung 5, 11
Dreiecksweg 73
Dritter Liouville'scher Satz 262
EEbene affine Kurve 277, 279
- - projektive Kurve 281
Eindeutigkeit der analytischen
- Fortsetzung 120
- Potenzreihenentwicklung 107
einfacher Pol 133
einfach zusammenhängend 81, 240f, 249, 254
Einheitengruppe 221
Einheitskreislinie 10, 63
Einheitskreisscheibe 228, 249
Einheitswurzel 8, 332, 364
Eisenstein, F.G.M. (1823-1853) 268, 396
Eisensteinreihe 272, 277, 284, 315, 317f, 340, 392, 394f
Elementargebiet 79f, 161, 227, 236f, 241, 248f
elliptisch 332
elliptische Funktion 255, 257, 307
- Kurve 283
- Modulform 325
- Modulgruppe 309, 312, 316, 325f, 333
elliptischer Fixpunkt 331
elliptisches Integral 255, 291
- erster Gattung 291
Elstrodt, J. 402, 418
endlichdimensional 344
endlicher Index 361
- - Teil 281
Epstein, P. (1871-4939) 460
Epstein'sche s-Funktion 460
Erdös, P. (1913-1996) 459
Ergänzungsformel 286
Ergänzungssatz der F-Funktion 204
Erster Liouville'scher Satz 258
Erzeugende der elliptischen Modulgruppe 316
- - Hauptkongruenzgruppe F[2] 377
- - Thetagruppe 365, 375
Euklid 457
Euler, L. (1707 1783) 187, 194, 202, 204, 211, 295, 410, 414f, 433, 457
Euler-Mascheroni'sche Konstante 202, 209, 445
Elllerprodukt 433
Euler'sche Betafunktion 211
- Formeln für S (2fk) 187
- Identität 211
- Produktentwicklung 415
- Produktformel für 1/T 210
Euler'sches Integral erster Gattung 211
- zweiter Gattung 194
- Pentagonalzahlentheorem 410
Euler'sche p-Funktion 439
- Zahlen 118
Existenzsatz für analytische Logarithmen 79
- - - analytische Wurzeln 79
Exponentialfunktion 19f, 47, 58
Extremalproblem 231
FFagnano, G.G. (1682-1776) 255, 295
Faktorgruppe 256, 258
faktoriell 221
Fakultät 197
Fermat, P. de (1601 1665) 10
Fermat'sche Primzahl 10
Fibonacci-Zahlen 151
Fixpunkte einer elliptischen Modulsubstitution 332
- konformen Selbstabbildung
- der Einheitskreisscheibe 126, 188
- Möbiustransformation 160
Fixpunktgleichung 332
Folge der Partialsummen 17
folgenkompakt 33
Folgenkriterium 29
Formel von Cauchy-Hadamard 117
Fourier, J.-B.-J. (1768-1830) 136, 150, 334, 348
Fourieranalyse 136
Fourierentwicklung 150, 334, 348, 371
- - der Diskriminante 324, 408
- Eisensteinreihen 394
- j-Funktion 408
- - einer Modulform 335
Fourierkoeffizienten 149
Fourierreihe 149, 419
Fouriertransformierte 85
Fresnel'sche Integrale 85
Fundamentalbereich 321f, 326, 341
- - der Modulgruppe 321
Fundamentalmenge der Thetagruppe 374f, 400
Fundamentalsatz der Algebra 1, 10, 84, 92, 125, 129, 174
Funktionaldeterminante 43
Funktionalgleichung der Dirichletreihen 419
- Epstein'schen s-Funktion 461
- Exponentialfunktion 19
- Gammafunktion 197
- Riemann'schen s-Funktion 428f, 446f
GGammafunktion 194, 225
Gammaintegral 195, 421
ganze Funktion 91, 156
- Modulform 339f, 368
ganz rational 156
- transzendent 156
Ganzzahligkeit der Umlaufzahl 168, 241
Gauß, C.F. (1777-1855) 95, 202f, 457
Gauß'sche Multiplikationsformel210
- Produktentwicklung der Gammafunktion 203
- v-Funktion 211
Gauß'sches Fehlerintegral 190
Gauß'sche Summe 190
- Zahlenebene 6
- Gebiet 70, 123
gebrochen lineare Substitution 312
- - - Transformation 158
geometrische Reihe 18
Gerade 287
gerade elliptische Funktion 274
- - Matrix 356
geschlitzte Ebene 32, 38, 40, 48
geschlossene Kurve 73
Geschlossenheitsrelation 169
Gitter 218, 256f, 264, 309, 352, 358
Gitterpunktanzahlen 391
glatte Kurve 63
gleichgradig stetig 232
gleichmäßige Approximation 99
gleichmäßig konvergent 99
- - stetig 33
Goursat E.J.-B. (1858-1936) 74
Grenzwertbegriffe 35
großer Satz von Picard 136
Grundmasche eines Gitters 258
Gruppe 158, 310
- - der konformen Selbstabbildungen 127, 159, 228, 236
Gudermann, C. (1798-1852) 206
Gudermann'sche Reihe 206
Gutzmer, A. (1860-1924) 118
Gutzmer'sche Ungleichung 118
HHadamard, J.S. (1865-1963) 115, 117, 458
halbganzes Gewicht 361
Halbwerte der p-Funktion 270
Hamburger, H.L. (1889 1956) 429
Hamilton, W.R. (1805-1865) 15
Hamilton'sche Quaternionen 15
Hankel, H. (1839-1873) 212
Hankel'sche Integraldarstellung von 1/r 212
Hardy, G.H. (1877-1947) 459
harmonische Funktion 48, 129, 249
- - Reihe 105
Häufungspunkt 32, 34, 256
Häufungswert 33
Hauptcharakter 365
Hauptideal 221
Hauptkongruenzgruppe 361
Hauptteil der Laurentzerlegung 141
Hauptteilverteilung 223
Hauptwert des Arguments 7, 22
- - - Logarithmus 23, 109
Hauptzweig des Arguments 30
- Logarithmus 21f, 30, 48, 67, 78, 199
hebbare Singularität 130f, 135, 145, 155
Hecke, E. (1887-1947) 359f, 391, 416, 420, 429, 460
Heckeoperator 416, 418
Heine, H.E. (1821-1881) 32f, 99
Heine-Borel'scher Überdeckungssatz 99
holomorph 45
homogen 281
homolog 247, 254
Homologieversion des Cauchy'schen
- Integralsatzes 244
homöomorph 228, 241
homotop 239
Homotopie 239
Homotopieversion des Cauchy'schen
- Integralsatzes 240
Hurwitz, A. (1859 1919) 171
IIdeal 221
Identitätssatz für analytische
- Funktionen 120
- Potenzreihen 110
Igusa, J.I. 326, 381, 383
imaginäre Einheit 4
Imaginärteil 4implizite Funktion 46
Index 161, 361
Ineinandersetzen von Potenzreihen 112
Injektivität der j-Funktion 341
innerer Punkt 32
Inneres einer geschlossenen Kurve 163
Integralberechnung mit Hilfe des
- Residuensatzes 175
Integralformel 87
Integrallogarithmus 437
Integralsatz 74, 77, 141, 240, 244
integrierbar 62
Integritätsbereich 123, 215, 221
Intervall 70
Intervallschachtelung 75
Inversion an der Einheitskreislinie 14
Invertieren von Potenzreihen 110
irreduzibel 15, 221
isolierte Singularität 130
JJacobi, C.G.J. (1804-1851) 40, 255, 306, 348, 350, 404, 408
Jacobi-Abbildung 40, 52
Jacobi-Matrix 42
Jacobi'sche Thetareihe 326, 354
- Thetarelation 382, 388
- Thetatransformationsformel 347f
j-Funktion 314ff, 320, 322, 341f, 408
Jordan, C. (1838-1922) 332
Jordankurve 252
Jordan'sche Normalform 332
Jordan'scher Kurvensatz 253
Jordan'sche Ungleichung 137
Joukowski, N.E. (1847-1921) 59
Joukowski-Funktion 59
Joukowski-Kutta-Profile 59
Kk/12-Formel 336
Kern der Exponentialfunktion 20
Kettenregel 37
Klassifikation der Singularitäten 135, 145
klassische Stirling'sche Formel 209
Klein, F.C. (1849-1925) 314
kleiner Riemann'scher Abbildungssatz 227
Koinzidenzmenge 120f
kommensurable Gitter 273
Kommutativgesetz 2
Kommutatorgruppe 382
kompakt 31
konvergent 99
komplex ableitbar 35
- differenzierbar 35
komplexe Exponentialfunktion 18
- Fourierreihe 149
komplexer Kosinus 18
- Sinus 18
komplexes Integral 61
Kurvenintegral 61
komplexe Zahl 1 konform 127, 227
- äquivalent 227, 235, 249
konforme Abbildung 52, 81
- Selbstabbildung der Einheitskreisscheibe 126f
- der oberen Halbebene 311, 317
- der Zahlenebene 159
- eines Gebietes 127, 228, 236
konform im Großen 52, 81, 227
- Kleinen 52
Kongruenzgruppe 362, 388f
Kongruenzklasse 358, 360
konjugiert 333
konjugierte Gruppe 362
konjugiertes Multiplikatorsystem 366f
konjugiert harmonische Funktion49f
- - komplexe Zahl 4konvergentes Produkt 200f
Konvergenzabszisse 411
konvergenzerzeugende Faktoren 213, 215
- - Summanden 222, 267
Konvergenzhalbebene 411, 415
Konvergenzkreisscheibe 104
Konvergenzradius 104, 109
konvex 73
konvexe Hülle 73, 95
Körper 1, 153
Körperaxiome 2
- Körper der elliptischen Funktionen 273
- - komplexen Zahlen 2, 13, 15
- - meromorphen Funktionen 154, 159, 215, 257
- Modulfunktionen 342
- rationalen Funktionen 342
Kosinussatz 11
Kotangens 25, 392
Kreisbogen 337
Kreisringsegment 77, 142
Kreisteilungsgleichung 10
kreisverwandt 160
Kühlturm 438
Kurve 63
Kurvenintegral 61, 64, 237
LLage von Nullstellen 174
Lagrange, J.L. (1736-1813) 12, 408
Lagrange'sche Identität 12
Lambert, J.H. (1728-1777) 115
Lambert'sche Reihe 115
Landau, E. (1877-1938) 102, 411, 434
Laplace, P.S. (1749-1827) 48
Laplace-Operator 48
- - in Polarkoordinaten 58
Laplace'sche Differentialgleichung 48
Laurent, P.A. (1813-1854) 140
Laurententwicklung 144
- - der p-Funktion 271
Laurentreihe 143, 263
Laurent Zerlegung 140
Lebesgue, H. (1875 1941) 421, 451, 454
Lebesgue'sche Zahl 233
Legendre, A.-M. (1752-1833) 194, 205, 211, 457
Legendre'sche Relation 205
Leibniz, G.W. von (1646-1716)88
Leibniz'sche Regel 88
Lemma von Schwarz-Pick 129
Lenmiskate 295
Leutbecher, A. 251
Levi, B. (1875 1961) 421
Liouville, J. (1809-1882) 91, 94, 157, 256, 258, 260, 262, 325, 336
logarithmische Ableitung 303
- Reihe 105
lokales Abbildungsverhalten 124
lokal gleichmäßig konvergent 99, 101, 233f
- - konstant 45, 70
Lösbarkeit quadratischer Gleichungen 12
Lösung einer Hauptteilverteilung 223
- Nullstellenverteilung 215
Lucas, F. (1842-1891) 95
MMaaß, H. (1911-1992) 526, 529
Mangoidt, H. von (1854-1952) 459
Mangoidt'sche Funktion 434
Mannigfaltigkeit 313
Mascheroni, L. (1750-1800) 202, 209
Matrizenmultiplikation 41
Maximumprinzip 124
- - für beschränkte Gebiete 129
Mellin, R.H. (1854-1933) 424
Mellin-Integral 423
Mellin'sche Umkehrformel 424
meromorphe Funktion 153, 155, 157, 256
- - Modulform 335, 368
Mertens, F. (1840-1927) 27
Minimumprinzip 125
Mittag-Lefner, M.G. (1856-1927) 222
Mittag-Lenker'sche Partialbruchreihe223
Mittelwertgleichung 88
Möbius, A.F. (1790-1868) 439
Möbius'sche u-Funktion 439, 460
Möbiustransformation 158, 160, 310
Modulfigur 321, 326, 401
Modulform 325, 339, 347, 368, 389, 427
Modulfunktion 256, 317, 320, 341, 369
Modulgruppe 309, 326
Mollerup, J. (1872-1937) 212
Monom 345, 382
Montel, R (1876-1975) 234
Mordell, L.J. (1888-1972) 418
Morera, G. (1856-1909) 91, 108
Morera-Bedingung 108
multiplikative Eigenschaften 412
Multiplikatorsystem 363, 382
NNachbarbereich 330
Nebenteil der Laurentzerlegung 141
Netz 238
Nichtspitzenform 344, 418
Niveaulinie 56
normal konvergent 98, 101, 144, 201- konvergentes Produkt 201
Normalteiler 362, 381
Normgebiet 228
n-te Wurzel 12
Nullfolge 16
nullhomolog 243
nullhomotop 240, 243, 249
Nullstellen der Jacobi'schen
- Thetareihe 307
- C-Funktion 438, 446
Nullstellenordnung 132, 262
- - einer elliptischen Funktion 262
Nullstellen von p' 269
nullstellenzählendes Integral 173
nullteilerfrei 123, 221
OObere Halbebene 13, 310f, 313, 315, 317, 320f, 326, 334
offen 31f
Operation auf den Spitzen 362
- der oberen Halbebene 326
- einer Gruppe 383
Ordnung 261, 331, 371
- einer elliptischen Funktion 261
- Nullstelle 132, 262
- Polstelle 132, 262
- Singularität 132
- - eines elliptischen Fixpunktes 331
orientierter Schnittwinkel 69
- - Winkel 11
orientierungstreu 42, 52, 60, 69
orthogonale Matrix 358
PParallelogrammidentität 11
Parallelstreifen 149
Partialbruchentwicklung des Kotangens 170, 184, 205
- - von 1/sin 223
Partialbruchreihe 266
Partialbruchsatz von Mittag-Leffler 222
Partialbruchzerlegung 95
- - rationaler Funktionen 157
Partialsumme 17
partielle Ableitung 42
- - Integration 63
Pentagonalzahl 351, 410
Periodengitter 264
Periodenparallelogramm 258
Periodentorus 258, 269
periodische Funktion 149
Permanenz der Funktionalgleichung 121
Permanenzeigenschaften der komplexen Ableitung 36
Permutation 386
Petersson, H. (1902-1984) 366
Pflasterung 251, 461
Picard, C.E. (1856-1941) 136
Pick, G.A. (1859-1942) 129
Poincare, H. (1854-1920) 60, 236
Pol 131, 135, 145, 155, 256
Polarkoordinaten 6, 22
Polordnung 133
Polstelle 131
Polstellenordnung 133, 262
Polynom 1, 10, 13, 15, 30, 37, 92, 125, 129
Polynomring 346, 389
positiv (definit) 353
Potentialfunktion 48
Potenzregeln 23
Potenzreihe 38, 104
Potenzreihenentwicklungssatz 106
Primelement 221
Primfaktorzerlegung 413
primitiv 14
primitive n-te Einheitswurzel 14
Primzahl 10, 413, 432, 457
Primzahlsatz 435f, 457
Primzahlverteilung 432
Pringsheim, A. (1850-1941) 74
Produktentwicklung der Gamma
- funktion 199, 203
- Sinusfunktion 204, 218
projektiver Abschluss einer Kurve 282- Raum 279f
Prym, E.F. (1841-1915) 225
punktierte Kreisscheibe 130
punktweise Konvergenz 97
QQuadratische Form 352
Quotientenkörper 154, 215
Quotiententopologie 343
RRamanujan, S.A. (1887-1920) 418
Ramanujan-Petersson-Vermutung 359
Ramanujan'sche r-Funktion 408, 418, 430
Ramanujanvermutung 409, 418
Randpunkt 118
rationale Funktion 95, 153, 157
Raute 341
Realteil 4
Rechenregeln für das Berechnen spezieller Residuen 166
- das Rechnen mit Potenzreihen 110
- die Umlaufzahl 168
Rechnen mit komplexen Potenzen 23
Rechteckgitter 284
reell-analytisch 122
Regelintegral 61
Regel von de 1'Hospital 139
regulär 45, 334, 427
reguläre Kurve 69
regulärer Randpunkt 118
Reihe 17f, 25f
rein imaginär 4
Residuenformel 164, 166
Residuensatz 161, 164
Residuum 164, 169
Restgliedabschätzung 437
Restklassenring 15
reziproke Kurve 71
Riemann, B.G.F. (1826-1866) 102, 107, 131, 228, 411, 428, 437, 447, 454, 458
Riemann'sche Fläche 341, 363, 372
- - Form 308f
Riemann'scher Abbildungssatz 227f
- - Hebbarkeitssatz 131
Riemann'sches Integral 61
Riemann'sche Vermutung 437, 459
- Zahlkugel 158, 249, 281, 342
- C-Funktion 102, 187, 411, 428f, 432f
Riemann-Sphäre 158
Ring der analytischen Funktionen 122, 221
- Modulformen 326
Ringgebiet 77, 140, 146, 235
Rouche, E. (1832-1910) 173
SSatz für implizite Funktionen 46, 173
- - von Bohr-Mollerup 212
- - - Bolzano-Weierstraß 33
- Casorati-Weierstraß 134, 342
- der Gebietstreue 123, 172
- Fubini 90
- Gauß-Lucas 95
- Hecke 420, 447, 460
- Heine 33
- Heine-Borel 32
- Liouville 91
- Mertens 27
- Mittag-Leffler 226
- Montel 234
- - - Morera 91
- Picard 136
- Rouche 173
- - - Siegel 359
Schiefkörper 15
Schwarz, H.A. (1843 1921) 11, 95, 125
Schwarz'sches Lemma 125
Spiegelungsprinzip 95
Seiberg, A. 459
Siegel, C.L. (1896-1981) 359
Sigma-Funktion 220, 301, 308
singulärer Randpunkt 118
Singularität 130ff
- in i∞ 335
- - ∞ 155
Solidarität 121
Spiegelung an der Einheitskreislinie 14
Spitze 362, 427
Spitzenform 343f, 368
Spitzenklasse 362f, 380
Spitzen von Kongruenzgruppen362
Sprachkunst 134
Stabilisator 327, 331
Stammfunktion 61, 72, 77, 249
Standardabschätzung für Integrale 65
Standardbilinearform 358
Standardskalarprodukt 52
stereographische Projektion 158f
Sterngebiet 76f, 79, 83
Sternmittelpunkt 76
stetig 28
- - differenzierbar 44
stetige Deformation 239
stetiger Zweig des Logarithmus 85
Stetigkeit 28f, 31
- - der Umkehrfunktion 30, 32
Stirling, J. (1692-1770) 205, 209
Stirling'sche Formel 205, 208
Struktursatz für diskrete Untergruppen 264
- K(L) 275
- Modulformen 345, 383, 389
- Modulfunktionen 342
stückweise glatte Kurve 64f, 70
Substitutionsregel 63
summatorische Funktion 434, 439, 449, 453, 461
symmetrische Gruppe S3 389
TTangens 25
Tangentialabbildung 40
Taubersatz 448
Taylor, B. (1685-1731) 108
Taylorkoeffizient 106
Taylorreihe 106, 108
Taylor'sche Formel 109
Teleskoptrick 25
Thetafunktion 255, 308
Thetagruppe 365, 373, 376, 380, 400
Thetamultiplikatorsystem 366
Thetanullwert 360
Thetareihe 304, 306, 347
topologisch äquivalent 228, 241
Toms 256, 259, 277
total ableitbar 40
- - differenzierbar 40, 42
totales Differential 40
Transformation durch reziproke
- Radien 14
Transformationsformel für Residuen 170
Transformationsinvarianz des Kurvenintegrals 65
transitive Operation 333, 362
Translationsgitter 325
Trümmerstück 379
Tschebyscheff, P.L. (1821-1894) 458
Tschebyscheff-Funktion 434
Tschebyscheff'sche Thetafunktion 435
Typ-II-Gitter 358ff
UUfer 447
Uhrzeigersinn 66
Umgebung 32
Umkehren von Potenzreihen 113
Umkehrfunktion 30, 255, 291
- - eines elliptischen Integrals 291, 294
Umlaufzahl 161, 168, 241, 253
Umordnen von Potenzreihen 112
Umordnung 395
uneigentliches Integral 177
uneigentlich integrierbar 194f
unendliche Reihe 17
unendliches Produkt 199f
unendlich ferner Punkt 283, 342
- Teil 281
Unendlichkeitsstelle 256
unimodular 356
- äquivalent 356
unimodulare Klasse 356
- Matrix 356
Untergruppe 361
- von endlichem Index 361, 365
unzerlegbar 221
VVariante des Ersten Liouville'schen Satzes 265
- Liouville'schen Satzes 157
Vektorraum 275, 343
verallgemeinerte Cauchy'sche Integralformel 249
- Integralformeln 90
- - Kreislinie 160
verallgemeinerter Cauchy'scher Integralsatz 249
verallgemeinerte Thetatransformationsformel 354
Verallgemeinerung der Cauchy'schen Integralformel 166
- des Ersten Liouville'schen Satzes 265
Verdoppelungsformel 210
- der p-Funktion 286
- für den Lemniskatenbogen 295
von Fagnano 295
Vertauschbarkeit von Differentiation
- und Grenzwertbildung 100
- Differentiation und Summation 101
- Integration und Limesbildung 100
Vertikalkante 337
Vertikalstreifen 419
Verzweigungspunkt 263, 271
Vogon 550
Volumen der Einheitskugel 211, 461
- Grundmasche 265
- - des Fundamentalbereichs 378
WWachstum der T-Funktion 208, 423
Wachstumslemma für Polynome 84
Wallis, J. (1616-1703) 220
Wallis'sche Produktformel 220
Weierstraß, K. (1815-1897) 33, 97, 100f, 107, 110f, 134, 140, 214, 220, 267f, 302
Weierstraßprodukt 215f, 302
Weierstraß'sche Elementarfaktoren 215, 220
- Normalform 293
Weierstraß'scher Approximationssatz 100
- Doppelreihensatz 111
- Majorantentest 98, 101
- Produktsatz 214, 216
- Zugang zur Funktionentheorie 107
Weierstraß'sche o-Funktion 220, 301, 308
- p-Funktion 220, 225, 266, 268, 274, 294, 306
- s-Funktion 220, 306
Weil, A. (1906-1998) 268
Werte der S-Funktion 187, 320
wesentliche Singularität 134f, 145, 155
Wielandt, H. (1910-2001) 198
Windungszahl 161
Winkel 7
Winkelbereich 206, 208
winkeltreu 42, 52, 60, 69
Wirtinger, W. (1865-1945) 60
Wirtingerkalkül 60
ZZaphod 550
Zerlegung von Prym 225
Zirkel und Lineal 10, 295
ZPE-Ring 221
zusammenhängend 46, 70, 250
Zusammenhangskomponente 250
Zwangsnullstelle 387
