Artikel werden geladen
Autoren:
Verlag:
Vieweg+Teubner Verlag Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Kapitel I Grundlagen | ||
| § 1 Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen | ||
| 1 | Vorläufiges über Mengen und Aussagen | 13 |
| 2 | Vorläufiges über die reellen Zahlen | 15 |
| 3 | Rechengesetze für reelle Zahlen | 16 |
| 4 | Das Rechnen in Q, TL und IN | 16 |
| 5 | Die Anordnung der reellen Zahlen | 17 |
| 6 | Vollständige Induktion | 21 |
| 7 | Intervalle | 25 |
| 8 | Beschränkte Mengen, obere und untere Schranken | 26 |
| 9 | Maximum und Minimum | 27 |
| 10 | Archimedische Anordnung von Q | 28 |
| 11 | Die Abzählbarkeit von Q | 28 |
| 12 | Zur Lückenhaftigkeit von Q | 29 |
| § 2 Die Vollständigkeit von IR, konvergente Folgen | ||
| 1 | Supremum und Infimum | 30 |
| 2 | Folgerungen aus dem Supremumsaxiom | 31 |
| 3 | Folgen, Rekursion, Teilfolgen | 34 |
| 4 | Nullfolgen | 35 |
| 5 | Sätze über Nullfolgen | 39 |
| 6 | Grenzwerte von Folgen | 40 |
| 7 | Existenz der ra-ten Wurzel, rationale Potenzen | 44 |
| 8 | Intervallschachtelungen | 45 |
| 9 | Grenzwertfreie Konvergenzkriterien | 48 |
| § 3 Elementare Funktionen | ||
| 1 | Die Folge ((l + fD | 52 |
| 2 | Die Exponentialfunktion | 54 |
| 3 | Funktionen, Abbildungen | 57 |
| 4 | Die Logarithmusfunktion | 60 |
| 5 | Die allgemeine Potenz und der Zehnerlogarithmus | 61 |
| 6 | Zusammengesetzte Funktionen | 62 |
| 7 | Polynome und rationale Funktionen | 63 |
| 8 | Die trigonometrischen Funktionen | 69 |
| § 4 Mengen und Wahrscheinlichkeit | ||
| 1 | Einfache Mengenalgebra | 76 |
| 2 | Exkurs über logisches Schließen und Beweistechnik | 78 |
| 3 | Notwendige und hinreichende Bedingungen | 80 |
| 4 | Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte | 80 |
| 5 | Beispiele zur Wahrscheinlichkeit | 1 |
| 6 | Das mathematische Modell endlicher Zufallsexperimente | 83 |
| 7 | Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten | 86 |
| 8 | Kombinatorische Grundformeln (Teil I) | 88 |
| 9 | Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung | 93 |
| 10 | * Kombinatorische Grundformeln (Teil II) | 98 |
| Kapitel II Vektorrechnung im IR" | ||
| § 5 Vektorrechnung im IR2, komplexe Zahlen | ||
| 1 | Vektorielle Größen in der Physik | 100 |
| 2 | Vektoren in der ebenen Geometrie | 100 |
| 3 | Koordinatendarstellung von Punkten und Vektoren | 104 |
| 4 | Punkte und Vektoren | 107 |
| 5 | Geraden und Strecken, Schnitt zweier Geraden | 108 |
| 6 | Lineare 2 x 2-Gleichungssysteme | 110 |
| 7 | Abstand, Norm, Winkel, ebene Drehungen | 111 |
| 8 | Komplexe Zahlen | 114 |
| 9 | Die komplexe Exponentialfunktion | 120 |
| 10 | Der Fundamentalsatz der Algebra, Beispiele | 121 |
| 11 | Drehungen und Spiegelungen in komplexer Schreibweise | 124 |
| § 6 Vektorrechnung im IR" | ||
| 1 | Der Vektorraum IR" | 126 |
| 2 | Skalarprodukt, Längen, Winkel | 128 |
| 3 | Das Vektorprodukt im R3 | 132 |
| 4 | Entwicklung nach Orthonormalsystemen, Orthonormalbasen | 137 |
| 5 | Aufgaben | 139 |
| Kapitel III Analysis einer Veränderlichen | ||
| § 7 Unendliche Reihen | ||
| 1 | Reihen im Reellen | 141 |
| 2 | Konvergenzkriterien für Reihen | 145 |
| 3 | Komplexe Folgen, Vollständigkeit von C | 148 |
| 4 | Reihen mit komplexen Gliedern | 150 |
| 5 | Cauchy-Kriterium und Majorantenkriterium | 152 |
| 6 | Umordnung von Reihen | 154 |
| 7 | Das Cauchy-Produkt | 158 |
| § 8 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit | ||
| 1 | Grenzwerte von Funktionen | 159 |
| 2 | Stetigkeit | 165 |
| 3 | Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen | 167 |
| 4 | Die Hauptsätze über stetige Funktionen | 16 |
| 5 | Die Stetigkeit der Umkehrfunktion | 172 |
| 6 | * Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit | 173 |
| § Differentialrechnung | ||
| 1 | Vorbemerkungen | 175 |
| 2 | Differenzierbarkeit und Ableitung | 177 |
| 3 | Differentiation zusammengesetzter Funktionen | 180 |
| 4 | Mittelwertsätze und Folgerungen | 183 |
| 5 | Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und Beispiele | 185 |
| 6 | Höhere Ableitungen und Cn-Funktionen | 187 |
| 7 | Taylorentwicklung | 189 |
| 8 | Lokale Minima und Maxima | 193 |
| 9 | Bestimmung von Grenzwerten nach de l'Hospital | 195 |
| § 10 Reihenentwicklungen und Schwingungen | ||
| 1 | Taylor reihen | 197 |
| 2 | Potenzreihen | 203 |
| 3 | Gliedweise Differenzierbarkeit und Identitätssatz | 206 |
| 4 | Theorie der Schwingungsgleichung | 208 |
| 5 | Lösung der Schwingungsgleichung durch komplexen Ansatz | 213 |
| §11 Integralrechnung | ||
| 1 | Treppenfunktionen und ihr Integral | 217 |
| 2 | Der gleichmäßige Abstand zweier beschränkter Funktionen | 220 |
| 3 | Integrierbare Funktionen und Eigenschaften des Integrals | 222 |
| 4 | Zwei wichtige Klassen integrierbarer Funktionen | 225 |
| 5 | Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | 227 |
| 6 | Partielle Integration | 231 |
| 7 | Die Substitutionsregel | 234 |
| 8 | Integration rationaler Funktionen | 239 |
| 9 | Integrale mit Potenzen von yf x2 + ax + ß | 243 |
| 10 | Übergang zum halben Winkel | 245 |
| 11 | Schlußbemerkungen | 246 |
| § 12 Vertauschung von Grenzprozessen, uneigentliche Integrale | ||
| 1 | Problemstellungen, Beispiele | 248 |
| 2 | Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen | 249 |
| 3 | Vertauschung von Grenzübergängen | 254 |
| 4 | Uneigentliche Integrale | 258 |
| 5 | Substitution und partielle Integration, Gamma-Funktion | 263 |
| § 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen | ||
| 1 | Die lineare Differentialgleichung y = a(x)y + b(x) | 268 |
| 2 | Zwei aufschlußreiche Beispiele | 273 |
| 3 | Die separierte Differentialgleichung y' — a(x) b(y) | 275 |
| 4 | Zurückführung auf getrennte Variable | 282 |
| 5 | Wegweiser: Differentialgleichungen in Band 1 und Band 2 | 283 |
| Kapitel IV Lineare Algebra | ||
| § 14 Vektorräume | ||
| 1 | Wovon handelt lineare Algebra ? | 284 |
| 2 | Vektorräume | 286 |
| 3 | Teilräume | 289 |
| 4 | Linearkombinationen, lineare Hülle, Erzeugendensystem | 291 |
| 5 | Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit | 292 |
| 6 | Vektorräume mit Basis | 294 |
| § 15 Lineare Abbildungen und Matrizen | ||
| 1 | Beispiele linearer Abbildungen | 299 |
| 2 | Die Dimensionsformel | 301 |
| 3 | Verknüpfung linearer Abbildungen | 303 |
| 4 | Lineare Abbildungen und Matrizen | 303 |
| 5 | Matrizenrechnung | 307 |
| 6 | Invertierbare lineare Abbildungen und reguläre Matrizen | 312 |
| 7 | Basiswechsel und Koordinatentransformation | 313 |
| § 16 Lineare Gleichungen | ||
| 1 | Problemstellungen und Beispiele | 315 |
| 2 | Allgemeines zur Lösbarkeit und zur Lösungsmenge | 316 |
| 3 | Rangbedingungen | 317 |
| 4 | Das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme | 319 |
| 5 | Interpolation und numerische Quadratur | 324 |
| 6 | Die Methode der kleinsten Quadrate | 327 |
| § 17 Determinanten | ||
| 1 | Beispiele | 329 |
| 2 | Definition der Determinante | 331 |
| 3 | Eigenschaften der Determinante | 336 |
| 4 | Das Volumen von Parallelflachen | 340 |
| 5 | * Orientierung und Determinante | 343 |
| § 18 Eigenwerte und Eigenvektoren | ||
| 1 | Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem | 344 |
| 2 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 346 |
| 3 Das charakteristische Polynom.....................34g | ||
| 4 | Diagonalisierbarkeit von Operatoren | 350 |
| 5 | Entkopplung von Systemen linearer Differentialgleichungen | 353 |
| § 19 Skalarprodukte, Orthonormalsysteme und unitäre Gruppen | ||
| 1 | Skalarprodukträume | 355 |
| 2 | Orthonormalsysteme und orthogonale Projektionen | 358 |
| 3 | Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt | 362 |
| 4 | Unitäre Abbildungen und Matrizen | 364 |
| 5 | Matrix- und Transformationsgruppen | 369 |
| § 20 Symmetrische Operatoren und quadratische Formen | ||
| 1 | Quadratische Formen | 374 |
| 2 | Symmetrische Operatoren und quadratische Formen | 376 |
| 3 | Diagonalisierbarkeit symmetrischer Operatoren | 378 |
| 4 | Hauptachsentransformation | 380 |
| 5 | Gekoppelte Systeme von Massenpunkten | 384 |
| Kapitel V Analysis mehrerer Variabler | ||
| § 21 Topologische Grundbegriffe normierter Räume | ||
| 1 | Normierte Räume | 388 |
| 2 | Konvergente Folgen | 390 |
| 3 | Offene und abgeschlossene Mengen | 391 |
| 4 | Inneres, Äußeres, Abschluß und Rand einer Menge | 394 |
| 5 | Vollständigkeit | 396 |
| 6 | Kompakte Teilmengen | 397 |
| 7 | Stetige Funktionen | 399 |
| 8 | Stetige Funktionen auf kompakten Mengen | 403 |
| 9 | Zusammenhang, Gebiete | 404 |
| § 22 Differentialrechnung im IRn | ||
| 1 | Differenzierbarkeit und Ableitung | 406 |
| 2 | Rechenregeln für differenzierbare Funktionen | 414 |
| 3 | Gradient, Richtungsableitung und Hauptsatz | 418 |
| 4 | Der Satz von Taylor | 423 |
| 5 | Der Umkehrsatz und der Satz über implizite Funktionen | 428 |
| 6 | Lokale Extrema unter Nebenbedingungen | 438 |
| § 23 Integralrechnung im lRn | ||
| 1 | Das Integral für Treppenfunktionen | 442 |
| 2 | Integration stetiger Funktionen über kompakte Quader | 446 |
| 3 | Das Volumen von Rotationskörpern | 450 |
| 4 | Das Integral stetiger Funktionen über offene Mengen | 451 |
| 5 | Parameterintegrale über offene Mengen | 456 |
| 6 | Sukzessive Integration | 458 |
| 7 | Das n-dimensionale Volumen | 462 |
| 8 | Der Transformationssatz und Anwendungen | 465 |
| Kapitel VI Vektoranalysis | ||
| § 24 Kurvenintegrale | ||
| 1 | Kurvenstücke | 470 |
| 2 | Länge und Bogenlänge | 472 |
| 3 | Skalare Kurvenintegrale | 475 |
| 4 | Vektorielle Kurvenintegrale | 476 |
| 5 | Konservative Vektorfelder und Potentiale | 480 |
| 6 | * Kurvenintegrale und Potentiale in der Thermodynamik | 489 |
| 7 | Divergenz, Laplace-Operator, Rotation, Vektorpotentiale | 491 |
| § 25 Oberflächenintegrale | ||
| 1 | Flächenstücke im R3 | 493 |
| 2 | Der Flächeninhalt von Flächenstücken | 496 |
| 3 | Oberflächenintegrale | 500 |
| § 26 Die Integralsätze von Stokes, Gauß und Green | ||
| 1 | Übersicht | 504 |
| 2 | Der Integralsatz von Stokes | 505 |
| 3 | Der Stokessche Integralsatz in der Ebene | 515 |
| 4 | Der Integralsatz von Gauß | 519 |
| 5 | Anwendungen des Gaußschen Satzes, Greensche Formeln | 525 |
| 6 | Anwendungen der Integralsätze in der Physik | 527 |
| Kapitel VII Einführung in die Funktionentheorie | ||
| § 27 Die Hauptsätze der Funktionentheorie | ||
| 1 | Holomorphie, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen | 533 |
| 2 | Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen | 537 |
| 3 | Analytische Funktionen | 544 |
| 4 | Der Cauchysche Integralsatz | 547 |
| 5 | Die Cauchysche Integralformel und ihre Konsequenzen | 549 |
| 6 | Ganze Funktionen und Satz von Liouville | 552 |
| 7 | Der Satz von Morera und Folgerungen | 554 |
| 8 | Zusammenfassung der Hauptsätze | 555 |
| § 28 Isolierte Singularitäten, Laurent-Reihen und Residuensatz | ||
| 1 | Einteilung isolierter Singularitäten | 556 |
| 2 | Laurent-Entwicklung | 557 |
| 3 | Charakterisierung isolierter Singularitäten | 562 |
| 4 | Der Residuenkalkül | 565 |
| 5 | Der Residuensatz | 566 |
| 6 | Berechnung von Reihen mit Hilfe des Residuensatzes | 567 |
| 7 | Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes | 570 |
| Namen und Lebensdaten | 573 | |
| Literaturverzeichnis | 574 | |
| Symbole und Abkürzungen | 576 | |
| Index | 578 | |
