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| Kapitel I Grundlagen | ||
| § 1 Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen | ||
| 1 | Vorläufiges über Mengen und Aussagen | 13 |
| 2 | Vorläufiges über die reellen Zahlen | 15 |
| 3 | Rechengesetze für reelle Zahlen | 16 |
| 4 | Das Rechnen in Q, TL und IN | 16 |
| 5 | Die Anordnung der reellen Zahlen | 17 |
| 6 | Vollständige Induktion | 21 |
| 7 | Intervalle | 25 |
| 8 | Beschränkte Mengen, obere und untere Schranken | 26 |
| 9 | Maximum und Minimum | 27 |
| 10 | Archimedische Anordnung von Q | 28 |
| 11 | Die Abzählbarkeit von Q | 28 |
| 12 | Zur Lückenhaftigkeit von Q | 29 |
| § 2 Die Vollständigkeit von IR, konvergente Folgen | ||
| 1 | Supremum und Infimum | 30 |
| 2 | Folgerungen aus dem Supremumsaxiom | 31 |
| 3 | Folgen, Rekursion, Teilfolgen | 34 |
| 4 | Nullfolgen | 35 |
| 5 | Sätze über Nullfolgen | 39 |
| 6 | Grenzwerte von Folgen | 40 |
| 7 | Existenz der ra-ten Wurzel, rationale Potenzen | 44 |
| 8 | Intervallschachtelungen | 45 |
| 9 | Grenzwertfreie Konvergenzkriterien | 48 |
| § 3 Elementare Funktionen | ||
| 1 | Die Folge ((l + fD | 52 |
| 2 | Die Exponentialfunktion | 54 |
| 3 | Funktionen, Abbildungen | 57 |
| 4 | Die Logarithmusfunktion | 60 |
| 5 | Die allgemeine Potenz und der Zehnerlogarithmus | 61 |
| 6 | Zusammengesetzte Funktionen | 62 |
| 7 | Polynome und rationale Funktionen | 63 |
| 8 | Die trigonometrischen Funktionen | 69 |
| § 4 Mengen und Wahrscheinlichkeit | ||
| 1 | Einfache Mengenalgebra | 76 |
| 2 | Exkurs über logisches Schließen und Beweistechnik | 78 |
| 3 | Notwendige und hinreichende Bedingungen | 80 |
| 4 | Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte | 80 |
| 5 | Beispiele zur Wahrscheinlichkeit | 1 |
| 6 | Das mathematische Modell endlicher Zufallsexperimente | 83 |
| 7 | Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten | 86 |
| 8 | Kombinatorische Grundformeln (Teil I) | 88 |
| 9 | Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung | 93 |
| 10 | * Kombinatorische Grundformeln (Teil II) | 98 |
| Kapitel II Vektorrechnung im IR" | ||
| § 5 Vektorrechnung im IR2, komplexe Zahlen | ||
| 1 | Vektorielle Größen in der Physik | 100 |
| 2 | Vektoren in der ebenen Geometrie | 100 |
| 3 | Koordinatendarstellung von Punkten und Vektoren | 104 |
| 4 | Punkte und Vektoren | 107 |
| 5 | Geraden und Strecken, Schnitt zweier Geraden | 108 |
| 6 | Lineare 2 x 2-Gleichungssysteme | 110 |
| 7 | Abstand, Norm, Winkel, ebene Drehungen | 111 |
| 8 | Komplexe Zahlen | 114 |
| 9 | Die komplexe Exponentialfunktion | 120 |
| 10 | Der Fundamentalsatz der Algebra, Beispiele | 121 |
| 11 | Drehungen und Spiegelungen in komplexer Schreibweise | 124 |
| § 6 Vektorrechnung im IR" | ||
| 1 | Der Vektorraum IR" | 126 |
| 2 | Skalarprodukt, Längen, Winkel | 128 |
| 3 | Das Vektorprodukt im R3 | 132 |
| 4 | Entwicklung nach Orthonormalsystemen, Orthonormalbasen | 137 |
| 5 | Aufgaben | 139 |
| Kapitel III Analysis einer Veränderlichen | ||
| § 7 Unendliche Reihen | ||
| 1 | Reihen im Reellen | 141 |
| 2 | Konvergenzkriterien für Reihen | 145 |
| 3 | Komplexe Folgen, Vollständigkeit von C | 148 |
| 4 | Reihen mit komplexen Gliedern | 150 |
| 5 | Cauchy-Kriterium und Majorantenkriterium | 152 |
| 6 | Umordnung von Reihen | 154 |
| 7 | Das Cauchy-Produkt | 158 |
| § 8 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit | ||
| 1 | Grenzwerte von Funktionen | 159 |
| 2 | Stetigkeit | 165 |
| 3 | Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen | 167 |
| 4 | Die Hauptsätze über stetige Funktionen | 16 |
| 5 | Die Stetigkeit der Umkehrfunktion | 172 |
| 6 | * Der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit | 173 |
| § Differentialrechnung | ||
| 1 | Vorbemerkungen | 175 |
| 2 | Differenzierbarkeit und Ableitung | 177 |
| 3 | Differentiation zusammengesetzter Funktionen | 180 |
| 4 | Mittelwertsätze und Folgerungen | 183 |
| 5 | Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und Beispiele | 185 |
| 6 | Höhere Ableitungen und Cn-Funktionen | 187 |
| 7 | Taylorentwicklung | 189 |
| 8 | Lokale Minima und Maxima | 193 |
| 9 | Bestimmung von Grenzwerten nach de l'Hospital | 195 |
| § 10 Reihenentwicklungen und Schwingungen | ||
| 1 | Taylor reihen | 197 |
| 2 | Potenzreihen | 203 |
| 3 | Gliedweise Differenzierbarkeit und Identitätssatz | 206 |
| 4 | Theorie der Schwingungsgleichung | 208 |
| 5 | Lösung der Schwingungsgleichung durch komplexen Ansatz | 213 |
| §11 Integralrechnung | ||
| 1 | Treppenfunktionen und ihr Integral | 217 |
| 2 | Der gleichmäßige Abstand zweier beschränkter Funktionen | 220 |
| 3 | Integrierbare Funktionen und Eigenschaften des Integrals | 222 |
| 4 | Zwei wichtige Klassen integrierbarer Funktionen | 225 |
| 5 | Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | 227 |
| 6 | Partielle Integration | 231 |
| 7 | Die Substitutionsregel | 234 |
| 8 | Integration rationaler Funktionen | 239 |
| 9 | Integrale mit Potenzen von yf x2 + ax + ß | 243 |
| 10 | Übergang zum halben Winkel | 245 |
| 11 | Schlußbemerkungen | 246 |
| § 12 Vertauschung von Grenzprozessen, uneigentliche Integrale | ||
| 1 | Problemstellungen, Beispiele | 248 |
| 2 | Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen | 249 |
| 3 | Vertauschung von Grenzübergängen | 254 |
| 4 | Uneigentliche Integrale | 258 |
| 5 | Substitution und partielle Integration, Gamma-Funktion | 263 |
| § 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen | ||
| 1 | Die lineare Differentialgleichung y = a(x)y + b(x) | 268 |
| 2 | Zwei aufschlußreiche Beispiele | 273 |
| 3 | Die separierte Differentialgleichung y' — a(x) b(y) | 275 |
| 4 | Zurückführung auf getrennte Variable | 282 |
| 5 | Wegweiser: Differentialgleichungen in Band 1 und Band 2 | 283 |
| Kapitel IV Lineare Algebra | ||
| § 14 Vektorräume | ||
| 1 | Wovon handelt lineare Algebra ? | 284 |
| 2 | Vektorräume | 286 |
| 3 | Teilräume | 289 |
| 4 | Linearkombinationen, lineare Hülle, Erzeugendensystem | 291 |
| 5 | Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit | 292 |
| 6 | Vektorräume mit Basis | 294 |
| § 15 Lineare Abbildungen und Matrizen | ||
| 1 | Beispiele linearer Abbildungen | 299 |
| 2 | Die Dimensionsformel | 301 |
| 3 | Verknüpfung linearer Abbildungen | 303 |
| 4 | Lineare Abbildungen und Matrizen | 303 |
| 5 | Matrizenrechnung | 307 |
| 6 | Invertierbare lineare Abbildungen und reguläre Matrizen | 312 |
| 7 | Basiswechsel und Koordinatentransformation | 313 |
| § 16 Lineare Gleichungen | ||
| 1 | Problemstellungen und Beispiele | 315 |
| 2 | Allgemeines zur Lösbarkeit und zur Lösungsmenge | 316 |
| 3 | Rangbedingungen | 317 |
| 4 | Das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme | 319 |
| 5 | Interpolation und numerische Quadratur | 324 |
| 6 | Die Methode der kleinsten Quadrate | 327 |
| § 17 Determinanten | ||
| 1 | Beispiele | 329 |
| 2 | Definition der Determinante | 331 |
| 3 | Eigenschaften der Determinante | 336 |
| 4 | Das Volumen von Parallelflachen | 340 |
| 5 | * Orientierung und Determinante | 343 |
| § 18 Eigenwerte und Eigenvektoren | ||
| 1 | Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem | 344 |
| 2 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 346 |
| 3 Das charakteristische Polynom.....................34g | ||
| 4 | Diagonalisierbarkeit von Operatoren | 350 |
| 5 | Entkopplung von Systemen linearer Differentialgleichungen | 353 |
| § 19 Skalarprodukte, Orthonormalsysteme und unitäre Gruppen | ||
| 1 | Skalarprodukträume | 355 |
| 2 | Orthonormalsysteme und orthogonale Projektionen | 358 |
| 3 | Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt | 362 |
| 4 | Unitäre Abbildungen und Matrizen | 364 |
| 5 | Matrix- und Transformationsgruppen | 369 |
| § 20 Symmetrische Operatoren und quadratische Formen | ||
| 1 | Quadratische Formen | 374 |
| 2 | Symmetrische Operatoren und quadratische Formen | 376 |
| 3 | Diagonalisierbarkeit symmetrischer Operatoren | 378 |
| 4 | Hauptachsentransformation | 380 |
| 5 | Gekoppelte Systeme von Massenpunkten | 384 |
| Kapitel V Analysis mehrerer Variabler | ||
| § 21 Topologische Grundbegriffe normierter Räume | ||
| 1 | Normierte Räume | 388 |
| 2 | Konvergente Folgen | 390 |
| 3 | Offene und abgeschlossene Mengen | 391 |
| 4 | Inneres, Äußeres, Abschluß und Rand einer Menge | 394 |
| 5 | Vollständigkeit | 396 |
| 6 | Kompakte Teilmengen | 397 |
| 7 | Stetige Funktionen | 399 |
| 8 | Stetige Funktionen auf kompakten Mengen | 403 |
| 9 | Zusammenhang, Gebiete | 404 |
| § 22 Differentialrechnung im IRn | ||
| 1 | Differenzierbarkeit und Ableitung | 406 |
| 2 | Rechenregeln für differenzierbare Funktionen | 414 |
| 3 | Gradient, Richtungsableitung und Hauptsatz | 418 |
| 4 | Der Satz von Taylor | 423 |
| 5 | Der Umkehrsatz und der Satz über implizite Funktionen | 428 |
| 6 | Lokale Extrema unter Nebenbedingungen | 438 |
| § 23 Integralrechnung im lRn | ||
| 1 | Das Integral für Treppenfunktionen | 442 |
| 2 | Integration stetiger Funktionen über kompakte Quader | 446 |
| 3 | Das Volumen von Rotationskörpern | 450 |
| 4 | Das Integral stetiger Funktionen über offene Mengen | 451 |
| 5 | Parameterintegrale über offene Mengen | 456 |
| 6 | Sukzessive Integration | 458 |
| 7 | Das n-dimensionale Volumen | 462 |
| 8 | Der Transformationssatz und Anwendungen | 465 |
| Kapitel VI Vektoranalysis | ||
| § 24 Kurvenintegrale | ||
| 1 | Kurvenstücke | 470 |
| 2 | Länge und Bogenlänge | 472 |
| 3 | Skalare Kurvenintegrale | 475 |
| 4 | Vektorielle Kurvenintegrale | 476 |
| 5 | Konservative Vektorfelder und Potentiale | 480 |
| 6 | * Kurvenintegrale und Potentiale in der Thermodynamik | 489 |
| 7 | Divergenz, Laplace-Operator, Rotation, Vektorpotentiale | 491 |
| § 25 Oberflächenintegrale | ||
| 1 | Flächenstücke im R3 | 493 |
| 2 | Der Flächeninhalt von Flächenstücken | 496 |
| 3 | Oberflächenintegrale | 500 |
| § 26 Die Integralsätze von Stokes, Gauß und Green | ||
| 1 | Übersicht | 504 |
| 2 | Der Integralsatz von Stokes | 505 |
| 3 | Der Stokessche Integralsatz in der Ebene | 515 |
| 4 | Der Integralsatz von Gauß | 519 |
| 5 | Anwendungen des Gaußschen Satzes, Greensche Formeln | 525 |
| 6 | Anwendungen der Integralsätze in der Physik | 527 |
| Kapitel VII Einführung in die Funktionentheorie | ||
| § 27 Die Hauptsätze der Funktionentheorie | ||
| 1 | Holomorphie, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen | 533 |
| 2 | Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen | 537 |
| 3 | Analytische Funktionen | 544 |
| 4 | Der Cauchysche Integralsatz | 547 |
| 5 | Die Cauchysche Integralformel und ihre Konsequenzen | 549 |
| 6 | Ganze Funktionen und Satz von Liouville | 552 |
| 7 | Der Satz von Morera und Folgerungen | 554 |
| 8 | Zusammenfassung der Hauptsätze | 555 |
| § 28 Isolierte Singularitäten, Laurent-Reihen und Residuensatz | ||
| 1 | Einteilung isolierter Singularitäten | 556 |
| 2 | Laurent-Entwicklung | 557 |
| 3 | Charakterisierung isolierter Singularitäten | 562 |
| 4 | Der Residuenkalkül | 565 |
| 5 | Der Residuensatz | 566 |
| 6 | Berechnung von Reihen mit Hilfe des Residuensatzes | 567 |
| 7 | Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes | 570 |
| Namen und Lebensdaten | 573 | |
| Literaturverzeichnis | 574 | |
| Symbole und Abkürzungen | 576 | |
| Index | 578 | |
Abbildung, 57
lineare, 285, 299
abgeschlossene Menge, 392
Ableitung, 177
n-te, 187
im Rn, 407
komplexe, 534
partielle, 409
Abschluß einer Menge, 394
absolute Konvergenz von Reihen, 156
Abstand, 111, 129, 402
Abzählbarkeit von Q, 28
Additionstheoreme für sin, cos, 72
adjungierte Matrix, 364
Adjunkte, 338
ähnliche Matrizen, 315
Außeres einer Menge, 394
affine Abbildung, 342
affiner Teilraum, 317
Algebra der n x n Matrizen, 311
alternierende Multilinearform, 331
analytisch (komplex), 545
analytisch (reell), 207
Anfangswertproblem, 211, 269, 275, 387
Anordnung einer Doppelfolge, 156
archimedische Anordnung, 28
Archimedisches Prinzip, 531
Arcuscosinus, 70
Arcussinus, 72
Arcustangens, 73, 201
Arcustangensreihe, 202
Argument, 121
Aufspann, 137, 291
Ausgleichsgerade, 327
Ausgleichsparabel, 327
Ausschöpfung offener Mengen, 455
Ausschöpfungssatz, 455
AWP, 269
Banachraum, 396
Basis, 295, 296
Basisdarstellung, 295
Basiswechsel, 313
Bedingungen
äquivalente, 80
hinreichende, 80
notwendige, 80
Bernoullische Ungleichung, 23
beschränkte Menge, 26, 389
beste Approximation, 361
Betrag einer komplexen Zahl, 118
Betrag einer reellen Zahl, 19
Bewegungsgruppe, 370
bijektiv, 59
Bildmenge, 58, 78
Binomialkoeffizient, 93
Binomialreihe, 202
Binomialverteilung, 94
binomischer Lehrsatz, 94
Bogenelement
skalares, 475
vektorielles, 477
Bogenlängenparametrisierung, 474
Bogenlänge (Einheitskreis), 473
Boltzmann-Statistik, 92, 441
Bolzano-Weierstraß, 51, 168, 397
C°°-Funktion, 189, 416
Cn-differenzierbar, 189, 416
Cr-Abbildung (0 < r < oo), 416
Cr-Diffeomorphismus, 428
Cr-Kurvenstück, 471
Cantorsches Diagonalverfahren, 28
Cauchy-Folge, 51, 150, 396
Cauchy-Formeln, 550
Cauchy-Kriterium, 51, 152
Cauchy-Produkt, 158
Cauchy-Schwarz-Ungl., 130, 357
Cauchysche Integralformel, 549
Cauchyscher Integralsatz, 547
Cavalierisches Prinzip, 230
charakteristische Funktion, 217, 442
charakteristische Gleichung, 214
charakteristisches Polynom, 348, 349
