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Spektrum-Akademischer Vlg Weitere Titel dieses Verlages anzeigen
| Vorwort | v | |
| 1 | Grundlagen | 1 |
| 1.1 | Mengenlehre | 1 |
| 1.1.1 | Mengenbegriff | 2 |
| 1.1.2 | Mengenoperationen | 4 |
| 1.1.3 | Abbildungen | 7 |
| 1.2 | Logik | 12 |
| 1.2.1 | Aussagenlogik | 12 |
| 1.2.2 | Prädikatenlogik | 18 |
| 1.2.3 | Beweise | 23 |
| 1.3 | Reelle Zahlen | 25 |
| 1.3.1 | Natürliche und ganze Zahlen | 25 |
| 1.3.2 | Rationale Zahlen | 34 |
| 1.3.3 | Reelle Zahlen | 43 |
| 1.4 | Rechnen mit reellen Zahlen | 54 |
| 1.4.1 | Potenzen und Wurzeln | 54 |
| 1.4.2 | Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz | 56 |
| 1.4.3 | Beträge und Ungleichungen | 64 |
| 1.4.4 | Uber das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen | 70 |
| 1.5 | Reelle Funktionen | 77 |
| 1.5.1 | Notation reeller Funktionen | 77 |
| 1.5.2 | Eigenschaften von reellen Funktionen | 80 |
| 1.5.3 | Umkehrfunktion | 84 |
| 1.5.4 | Verkettung von Funktionen | 86 |
| 1.5.5 | Signum- und Betragsfunktion | 88 |
| 1.5.6 | Polynome und gebrochen-rationale Funktionen | 89 |
| 1.5.7 | Potenz- und Wurzelfunktionen | 100 |
| 1.5.8 | Exponentialfunktionen und Logarithmen | 101 |
| 1.5.9 | Trigonometrische Funktionen | 111 |
| 1.5.10 | Hyperbel- und Areafunktionen | 127 |
| 1.6 | Komplexe Zahlen | 130 |
| 1.6.1 | Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit | 131 |
| 1.6.2 | Komplexe Arithmetik | 132 |
| 1.6.3 | Die Gauß'sche Zahlenebene | 134 |
| 1.6.4 | Euler'sehe Gleichung und Polarform komplexer Zahlen | 137 |
| 1.6.5 | Komplexe Wechselstromrechnung* | 143 |
| 1.6.6 | Fundamentalsatz der Algebra | 146 |
| 1.7 | Lineare Gleichungssysteme und Matrizen | 151 |
| 1.7.1 | Lineare Gleichungssysteme | 151 |
| 1.7.2 | Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren | 153 |
| 1.7.3 | Lösen linearer Gleichungssysteme | 160 |
| 1.7.4 | Inverse Matrix und transponierte Matrix | 167 |
| 1.7.5 | Symmetrische und orthogonale Matrizen | 172 |
| 1.7.6 | Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung * | 175 |
| 1.8 | Determinanten | 179 |
| 1.8.1 | Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten | 179 |
| 1.8.2 | Determinanten und lineare Gleichungssysteme | 187 |
| 1.9 | Aufgaben | 191 |
| 2 | Differenzial- und Integralrechnung | 203 |
| 2.1 | Folgen | 203 |
| 2.1.1 | Definition und Grundbegriffe von Folgen | 204 |
| 2.1.2 | Konvergenz und Divergenz von Folgen | 208 |
| 2.1.3 | Rechnen mit konvergenten Folgen | 212 |
| 2.1.4 | Konvergenzkriterien | 215 |
| 2.1.5 | Die Euler'sehe Zahl e als Grenzwert von Folgen | 218 |
| 2.1.6 | Approximation reeller Potenzen | 220 |
| 2.1.7 | Bestimmte Divergenz | 221 |
| 2.1.8 | Häufungspunkte einer Folge * | 224 |
| 2.1.9 | Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen* | 224 |
| 2.2 | Zahlen-Reihen | 228 |
| 2.2.1 | Definition und Konvergenz einer Reihe | 229 |
| 2.2.2 | Rechnen mit konvergenten Reihen | 232 |
| 2.2.3 | Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz | 233 |
| 2.2.4 | Absolute Konvergenz | 235 |
| 2.2.5 | Konvergenzkriterien für Reihen | 237 |
| 2.3 | Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit | 247 |
| 2.3.1 | Umgebungen und Uberdeckungen | 247 |
| 2.3.2 | Grenzwerte von Funktionen | 249 |
| 2.3.3 | Stetigkeit | 262 |
| 2.3.4 | Eigenschaften stetiger Funktionen | 268 |
| 2.3.5 | Unstetigkeitsstellen | 275 |
| 2.4 | Differenzierbarkeit und Ableitungen | 278 |
| 2.4.1 | Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten | 278 |
| 2.4.2 | Ableitungsregeln | 285 |
| 2.4.3 | Newton-Verfahren | 293 |
| 2.4.4 | Das Differenzial | 295 |
| 2.4.5 | Höhere Ableitungen | 298 |
| 2.5 | Zentrale Sätze der Differenzialrechnung | 300 |
| 2.5.1 | Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema | 300 |
| 2.5.2 | Mittelwertsätze der Differenzialrechnung | 300 |
| 2.5.3 | Regeln von L'Hospital | 306 |
| 2.6 | Integralrechnung | 312 |
| 2.6.1 | Definition des Integrals | 313 |
| 2.6.2 | Eigenschaften des Integrals | 318 |
| 2.6.3 | Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung | 323 |
| 2.6.4 | Rechenregeln zur Integration | 326 |
| 2.6.5 | Numerische Integration | 343 |
| 2.6.6 | Uneigentliche Integrale | 345 |
| 2.6.7 | Volumen und Flächen | 353 |
| 2.7 | Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme | 356 |
| 2.7.1 | Taylor-Summen | 356 |
| 2.7.2 | Kurvendiskussion und Extremalprobleme | 361 |
| 2.8 | Potenzreihen | 372 |
| 2.8.1 | Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen | 372 |
| 2.8.2 | Einschub: Funktionenfolgen* | 376 |
| 2.8.3 | Konvergenz von Potenzreihen | 385 |
| 2.8.4 | Differenziation und Integration von Potenzreihen | 389 |
| 2.8.5 | Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen | 391 |
| 2.8.6 | Die komplexe Exponentialfunktion | 392 |
| 2.9 | Aufgaben | 394 |
| 3 | Lineare Algebra | 401 |
| 3.1 | Vektoren in der Ebene und im Raum | 401 |
| 3.1.1 | Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln | 401 |
| 3.1.2 | Skalarprodukt und Orthogonalität | 409 |
| 3.1.3 | Vektorprodukt und Spatprodukt | 415 |
| 3.1.4 | Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts | 420 |
| 3.2 | Analytische Geometrie | 423 |
| 3.2.1 | Geraden in der Ebene und im Raum | 423 |
| 3.2.2 | Ebenen im Raum | 430 |
| 3.3 | Vektorräume | 437 |
| 3.3.1 | Definition des Vektorraums | 437 |
| 3.3.2 | Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension | 444 |
| 3.3.3 | Skalarprodukt und Norm | 453 |
| 3.3.4 | Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme | 459 |
| 3.4 | Lineare Abbildungen | 470 |
| 3.4.1 | Lineare Abbildungen und Matrizen | 470 |
| 3.4.2 | Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen | 475 |
| 3.4.3 | Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz | 478 |
| 3.4.4 | Umkehrabbildung und inverse Matrix | 485 |
| 3.4.5 | Koordinaten-und Basistransformationen * | 487 |
| 3.5 | Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme | 490 |
| 3.5.1 | Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems | 490 |
| 3.5.2 | Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken* | 494 |
| 3.6 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 503 |
| 3.6.1 | Eigenwerte und Eigenvektoren | 503 |
| 3.6.2 | Diagonalisierung von Matrizen * | 513 |
| 3.6.3 | Hauptvektoren und Jordan-Normalform* | 517 |
| 3.7 | Aufgaben | 521 |
| 4 | Funktionen mit mehreren Variablen | 525 |
| 4.1 | Grenzwerte und Stetigkeit | 528 |
| 4.2 | Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen | 532 |
| 4.2.1 | Ableitungsbegriffe | 532 |
| 4.2.2 | Höhere Ableitungen | 545 |
| 4.2.3 | Fehlerrechnung* | 548 |
| 4.3 | Extremwertrechnung | 552 |
| 4.3.1 | Lokale und globale Extrema | 552 |
| 4.3.2 | Extrema unter Nebenbedingungen* | 558 |
| 4.4 | Integralrechnung mit mehreren Variablen | 565 |
| 4.4.1 | Integration über mehrdimensionale Intervalle | 565 |
| 4.4.2 | Integration über Normalbereiche | 572 |
| 4.4.3 | Substitutionsregel | 576 |
| 4.4.4 | Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten | 578 |
| 4.5 | Vektoranalysis | 583 |
| 4.5.1 | Vektorfelder | 583 |
| 4.5.2 | Kurven | 584 |
| 4.5.3 | Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern | 587 |
| 4.5.4 | Kurvenintegrale | 589 |
| 4.5.5 | Satz von Green * | 597 |
| 4.5.6 | Flächenintegrale* | 599 |
| 4.5.7 | Die Sätze von Gauß und Stokes* | 603 |
| 4.6 | Aufgaben | 610 |
| 5 | Gewöhnliche Differenzialgleichungen | 613 |
| 5.1 | Einführung | 613 |
| 5.1.1 | Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik | 614 |
| 5.1.2 | Grundbegriffe | 618 |
| 5.1.3 | Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit | 623 |
| 5.1.4 | Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf | 626 |
| 5.2 | Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung | 629 |
| 5.2.1 | Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung | 630 |
| 5.2.2 | Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung | 642 |
| 5.3 | Lineare Differenzialgleichungssysteme | 655 |
| 5.3.1 | Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten | 655 |
| 5.3.2 | Grundbegriffe | 656 |
| 5.3.3 | Homogene Lösungen | 659 |
| 5.3.4 | Partikuläre Lösungen | 664 |
| 5.3.5 | Komplexe und mehrfache Eigenwerte * | 669 |
| 5.4 | Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung | 677 |
| 5.4.1 | Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem | 677 |
| 5.4.2 | Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite | 683 |
| 5.4.3 | Schwingungsgleichung* | 688 |
| 5.4.4 | Eine schwingende Saite: Wellengleichung | 694 |
| 5.5 | Aufgaben | 696 |
| 6 | Fourier-Reihen und Integraltransformationen | 699 |
| 6.1 | Fourier-Reihen | 700 |
| 6.1.1 | Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe | 701 |
| 6.1.2 | Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe | 707 |
| 6.1.3 | Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten | 709 |
| 6.1.4 | Faltung | 716 |
| 6.1.5 | Konvergenz von Fourier-Reihen * | 724 |
| 6.1.6 | Gibbs-Phänomen | 734 |
| 6.1.7 | Entwicklung 2p-periodischer Funktionen | 739 |
| 6.2 | Fourier-Transformation | 740 |
| 6.2.1 | Fourier-Integral | 740 |
| 6.2.2 | Fourier-Umkehrtransformation | 744 |
| 6.2.3 | Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation | 746 |
| 6.2.4 | Eigenschaften der Fourier-Transformation | 748 |
| 6.2.5 | Faltung | 753 |
| 6.3 | Laplace-Transformation | 758 |
| 6.3.1 | Von der Fourier-zur Laplace-Transformation | 758 |
| 6.3.2 | Rechnen mit der Laplace-Transformation | 762 |
| 6.3.3 | Laplace-Transformation in der Systemtheorie * | 773 |
| 6.4 | Diskrete Fourier-Transformation | 782 |
| 6.4.1 | Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe | 785 |
| 6.4.2 | Diskrete Fourier-Transformation | 787 |
| 6.4.3 | Diskrete Faltung* | 796 |
| 6.4.4 | FFT-Algorithmus | 800 |
| 6.4.5 | Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten | 805 |
| 6.4.6 | Abtastsatz für trigonometrische Polynome | 807 |
| 6.4.7 | Leck-Effekt (Leakage) * | 814 |
| 6.4.8 | Numerische Berechnung der Fourier-Transformation | 815 |
| 6.4.9 | Abtastsatz der Fourier-Transformation | 817 |
| 6.4.10 | Leck-Effekt und Fensterfunktionen* | 826 |
| 6.4.11 | Zusammenfassung | 828 |
| 6.5 | Aufgaben | 829 |
| 7 | Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik | 833 |
| 7.1 | Beschreibende Statistik | 834 |
| 7.1.1 | Grundbegriffe | 834 |
| 7.1.2 | Empirische Verteilungsfunktionen | 839 |
| 7.1.3 | Lageparameter | 841 |
| 7.1.4 | Streuungsparameter | 846 |
| 7.1.5 | Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation | 848 |
| 7.1.6 | Lineare Regressionsrechnung | 852 |
| 7.2 | Wahrscheinlichkeitsrechnung | 857 |
| 7.2.1 | Zufallsexperimente und Ereignisse | 857 |
| 7.2.2 | Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace | 859 |
| 7.2.3 | Kombinatorik | 863 |
| 7.2.4 | Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten | 868 |
| 7.2.5 | Zufallsvariablen | 876 |
| 7.2.6 | Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen | 888 |
| 7.2.7 | Gesetz der großen Zahlen | 898 |
| 7.2.8 | Zentraler Grenzwertsatz | 902 |
| 7.3 | Schließende Statistik | 909 |
| 7.3.1 | Punktschätzungen | 910 |
| 7.3.2 | Begriffe der Fehlerrechnung* | 914 |
| 7.3.3 | Intervallschätzungen | 916 |
| 7.3.4 | Hypothesentests | 924 |
| 7.4 | Aufgaben | 929 |
| Literaturverzeichnis | 935 | |
| Index | 939 | |
